Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
e^n^2-1n

Passo 1

O enunciado nos pede para estudar a convergência da sequência
an = e^n^2 - 1n,,
ou seja, queremos saber se an tende a um número finito ou diverge quando ntoinfty. O conteúdo principal aqui é comparar o crescimento exponencial de e^n^2 com o crescimento polinomial de n.

Passo 2

Para ver o comportamento de an quando n cresce, analisamos primeiro
e^n^2n,
Tomando logaritmo,
ln!l(tfrace^n^2nr) = lnl(e^n^2r) - ln(n) = n^2 - ln(n)
Como n^2toinfty e ln(n) cresce muito mais devagar, concluímos
ln!l(tfrace^n^2nr)toinfty Longrightarrow e^n^2ntoinfty

Passo 3

Para incorporar o “ -1” do numerador, note que para n grande
e^n^2-1n = e^n^2n - 1n ;>=; e^n^2n - 1
e já sabemos que tfrace^n^2ntoinfty, enquanto tfrac1nto0. Logo
e^n^2-1ntoinfty

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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