Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
n^2ln (n+1)

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
an = n^2ln(n+1)
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência com termos que crescem, comparando crescimento polinomial ( n^2) e crescimento logarítmico ( ln(n+1)), e uso do Teorema de l’Hôpital para a forma infty/infty.

Passo 2

Para investigar o limite de an quando ntoinfty, consideramos a função contínua
f(x)=x^2ln(x+1)
e estudamos
limxtoinftyf(x)=limxtoinftyx^2ln(x+1)
Como tanto o numerador quanto o denominador vão para infty, temos forma tfracinftyinfty e podemos aplicar o Teorema de l’Hôpital.

Passo 3

Derivando numerador e denominador:
ddx(x^2)=2x, ddxl(ln(x+1)r)=1x+1
Pelo l’Hôpital,
limxtoinftyx^2ln(x+1) =limxtoinfty2x1/(x+1) =limxtoinfty2x(x+1) =limxtoinfty(2x^2+2x)

Passo 4

Como 2x^2+2xto+infty quando xtoinfty, concluímos que
limxtoinftyx^2ln(x+1)=+infty
Logo o limite da sequência an também é +infty, isto é, a sequência diverge.

Resposta

A sequência diverge; limntoinftyn^2ln(n+1)=+infty.

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