Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência com termos que crescem, comparando crescimento polinomial ( ) e crescimento logarítmico (
), e uso do Teorema de l’Hôpital para a forma
.
e pede para determinar se ela converge ou diverge. O conteúdo aqui é análise de limite de sequência com termos que crescem, comparando crescimento polinomial (
Passo 2
Para investigar o limite de
quando
, consideramos a função contínua
e estudamos
Como tanto o numerador quanto o denominador vão para
, temos forma
e podemos aplicar o Teorema de l’Hôpital.
Passo 3
Derivando numerador e denominador:
Pelo l’Hôpital,
Passo 4
Como
quando
, concluímos que
Logo o limite da sequência
também é
, isto é, a sequência diverge.
Resposta
A sequência diverge;
.