Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
n^22^n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = n^22^n
e determinar se ela converge ou diverge; em caso de convergência, encontrar limntoinftyan. Vamos usar o teste da razão para sequências, que mostra que se
L = limntoinftyl|an+1anr| < 1,
então limntoinftyan = 0.

Passo 2

Calculemos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = (n+1)^22^n+1n^22^n = (n+1)^22^n+1cdot2^nn^2 = (n+1)^22,n^2
Agora tomamos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyan+1an = limntoinfty(n+1)^22,n^2 = 12

Passo 3

Como limntoinftyan+1an = tfrac12 < 1, o teste da razão garante que
limntoinftyan = 0

Resposta

A sequência converge e seu limite é 0.

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