Seja F(t)=raizt i+(t-t^2) j+arctg(t) k. Determine o versor tangente T(t) e calcule T(1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos uma função vetorial F(t) = raizt i + (t - t^2) j + arctan(t) k. A gente precisa descobrir o versor tangente T(t) dessa função e depois calcular T(1). O versor tangente é basicamente um vetor que indica a direção em que a função está “andando” no ponto t, e para encontrá-lo, a gente precisa usar algumas regras de cálculo de vetores e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um versor tangente. Basicamente, é um vetor unitário que toca a curva no ponto considerado e aponta na direção da derivada da função vetorial naquele ponto. Ou seja, ele mostra a direção do movimento da função.
Para encontrar T(t), a gente precisa:
  1. Derivar a função vetorial F(t) em relação a t para encontrar F'(t), que nos dá a taxa de variação da função.
  2. Calcular a magnitude (ou comprimento) desse vetor derivado.
  3. Dividir o vetor derivado pela sua magnitude para normalizá-lo, ou seja, transformá-lo em um versor (vetor de comprimento 1).
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

1. Encontrar a derivada F'(t):
A derivada de uma função vetorial é feita derivando componente por componente. Então, vamos derivar cada parte de F(t):
  • A derivada de raizt em relação a t é 12raizt.
  • A derivada de t - t^2 em relação a t é 1 - 2t.
  • A derivada de arctan(t) em relação a t é 11 + t^2.
Então, a derivada F'(t) fica:
F'(t) = 12raizt i + (1 - 2t) j + 11 + t^2 k

Passo 4

2. Calcular a magnitude de F'(t):
A magnitude de um vetor V = a i + b j + c k é dada por:
|V| = raiza^2 + b^2 + c^2
Aplicando isso na nossa F'(t):
|F'(t)| = raiz(12raizt)^2 + (1 - 2t)^2 + (11 + t^2)^2
Simplificando:
|F'(t)| = raiz14t + (1 - 2t)^2 + 1(1 + t^2)^2

Passo 5

3. Encontrar o versor tangente T(t):
Agora, para obter o versor tangente, a gente divide cada componente de F'(t) pela sua magnitude:
T(t) = F'(t)|F'(t)|
Ou seja:
T(t) = 12raizt i + (1 - 2t) j + 11 + t^2 kraiz14t + (1 - 2t)^2 + 1(1 + t^2)^2
Essa é a expressão geral do versor tangente T(t).

Passo 6

4. Calcular T(1):
Agora, vamos substituir t = 1 na expressão que encontramos para T(t):
Primeiro, calculamos cada componente:
  • 12raiz1 = 12
  • 1 - 2 times 1 = -1
  • 11 + 1^2 = 12
Então, F'(1) = 12 i - j + 12 k
Agora, a magnitude de F'(1):
|F'(1)| = raiz(12)^2 + (-1)^2 + (12)^2 = raiz14 + 1 + 14 = raiz32 = raiz62
Então, T(1) é:
T(1) = 12 i - j + 12 kraiz62 = 12 times 2raiz6 i - 1 times 2raiz6 j + 12 times 2raiz6 k = 1raiz6 i - 2raiz6 j + 1raiz6 k
Simplificando, podemos rationalizar os denominadores:
T(1) = raiz66 i - 2raiz66 j + raiz66 k

Resposta

O versor tangente no ponto t = 1 é:
T(1) = raiz66 i - 2raiz66 j + raiz66 k

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