Seja
. Determine o versor tangente
e calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício onde temos uma função vetorial
. A gente precisa descobrir o versor tangente
dessa função e depois calcular
. O versor tangente é basicamente um vetor que indica a direção em que a função está “andando” no ponto
, e para encontrá-lo, a gente precisa usar algumas regras de cálculo de vetores e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um versor tangente. Basicamente, é um vetor unitário que toca a curva no ponto considerado e aponta na direção da derivada da função vetorial naquele ponto. Ou seja, ele mostra a direção do movimento da função.
Para encontrar
, a gente precisa:
- Derivar a função vetorial
em relação a para encontrar , que nos dá a taxa de variação da função. - Calcular a magnitude (ou comprimento) desse vetor derivado.
- Dividir o vetor derivado pela sua magnitude para normalizá-lo, ou seja, transformá-lo em um versor (vetor de comprimento 1).
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
1. Encontrar a derivada
:
A derivada de uma função vetorial é feita derivando componente por componente. Então, vamos derivar cada parte de
:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é . - A derivada de
em relação a é .
Então, a derivada
fica:
Passo 4
2. Calcular a magnitude de
:
A magnitude de um vetor
é dada por:
Aplicando isso na nossa
:
Simplificando:
Passo 5
3. Encontrar o versor tangente
:
Agora, para obter o versor tangente, a gente divide cada componente de
pela sua magnitude:
Ou seja:
Essa é a expressão geral do versor tangente
.
Passo 6
4. Calcular
:
Agora, vamos substituir
na expressão que encontramos para
:
Primeiro, calculamos cada componente:
Então,
Agora, a magnitude de
:
Então,
é:
Simplificando, podemos rationalizar os denominadores:
Resposta
O versor tangente no ponto
é: