Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
(-1)^n n^3 3^-n

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da sequência
an = (-1)^n,n^3,3^-n
O conteúdo aqui é limite de sequência e comparação de crescimentos: um termo exponencial 3^n cresce muito mais rápido que qualquer polinômio n^3. A estratégia será mostrar que o módulo lvert anrvert tende a zero usando o critério da razão.

Passo 2

Definimos
bn = lvert anrvert = n^33^n
Vamos calcular a razão entre termos consecutivos:
bn+1bn = tfrac(n+1)^33^,n+1tfracn^33^n = (n+1)^3n^3,13
Como
limntoinfty(n+1)^3n^3 = 1,
segue
limntoinftybn+1bn = 13 < 1
Pelo critério da razão para sequências positivas, isso implica
limntoinftybn = 0

Passo 3

Como lvert anrvert = bn to 0, pela propriedade do limite temos
limntoinftyan = 0
Logo, a sequência converge e seu limite é zero.

Resposta

A sequência converge e
limntoinfty(-1)^n,n^3,3^-n = 0

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