Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
(1+15 n)^n

Passo 1

O enunciado dá a sequência
an = l(1 + 15nr)^n,
e pede para determinarmos se ela converge e, em caso afirmativo, seu limite. O conteúdo envolve limites de sequências e a famosa constante e, já que lembramos que
limmtoinftyl(1 + 1mr)^m = e

Passo 2

Para aproveitar o limite padrão, note que podemos escrever
an = l[l(1 + 15nr)^5nr]^tfrac15
De fato, elevando ao expoente 5n e depois extraindo raiz quinta equivale a elevar ao expoente n.

Passo 3

Defina
bn = l(1 + 15nr)^5n
Como 5ntoinfty quando ntoinfty, usamos o limite conhecido
limntoinftybn = limmtoinftyl(1 + 1mr)^m = e,
onde aqui fizemos a troca m=5n.

Passo 4

Logo
an = bn^tfrac15 Longrightarrow limntoinftyan = l(limntoinftybnr)^tfrac15 = e^tfrac15
Isso mostra que a sequência converge.

Resposta

A sequência converge e
limntoinftyl(1 + 15nr)^n = e^tfrac15

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