Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
n^2 e^1 / n

Passo 1

O enunciado pede para analisar a sequência
an = n^2 e^1/n
e decidir se ela converge ou diverge quando ntoinfty. O conteúdo envolve limites de sequência e uso da expansão em série de Taylor para e^x em xto0.

Passo 2

Como 1/nto0 quando ntoinfty, usamos a expansão de Taylor de e^x em torno de x=0, tomando x=1/n:
e^1/n = 1 + 1n + 12n^2 + o!l(1n^2r)
Multiplicando por n^2, obtemos
an = n^2 e^1/n = n^2l(1 + 1n + 12n^2 + o(tfrac1n^2)r) = n^2 + n + tfrac12 + o(1)

Passo 3

Como o termo dominante em an é n^2, que cresce sem limite, concluímos que
an to +inftyquando ntoinfty
Portanto a sequência não converge para um número finito.

Resposta

A sequência diverge para +infty.

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