Exercício 1. Determine se a sequência converge ou diverge; se convergir, encontre o limite.
(n+1)^(1 / ln n)

Passo 1

Beleza, resumão: queremos saber se a sequência
an ;=;(n+1)^tfrac1ln n
converge ou diverge e, se convergir, achar o limite. É um exercício de sequências e limites envolvendo logaritmo natural (ln) e exponencial. Pra resolver vamos usar a propriedade
a^b ;=; e^,bln a
e o fato de que a função e^x é contínua (ou seja, lim e^xn=e^lim xn). Também vamos analisar como ln(n+1) e ln n se comportam quando ntoinfty.

Passo 2

Primeiro, reescrevemos an usando a^b=e^bln a:
an = (n+1)^1ln n = e^1ln n,ln(n+1)
Então definimos o expoente
xn ;=;ln(n+1)ln n,
de modo que an = e^xn.

Passo 3

Agora a gente acha
L = limntoinfty xn = limntoinftyln(n+1)ln n
Note que
ln(n+1) = ln n + ln!l(1+tfrac1nr),
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xn = 1 + lnl(1+tfrac1nr)ln n
Quando ntoinfty, ln(1+1/n)approx1/nto0 e ln ntoinfty, então
ln(1+1/n)ln n;longrightarrow;0,
portanto
limntoinftyxn = 1

Passo 4

Como an = e^xn e e^x é contínua, dá pra passar o limite pra dentro:
limntoinftyan = limntoinftye^xn = e^lim xn = e^1 = e

Resposta

A sequência converge e o limite é e.

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