Exercício 2. Escreva os quatro primeiros elementos das sequências e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
;
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: escrever os quatro primeiros termos da sequência e decidir se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, achar o limite. A sequência é dada por
. Vou tomar a convenção usual de sequência indexada pelos naturais começando em
(ou seja, os termos são para
). Informações relevantes do enunciado:
- Fórmula do termo geral:
. - Pedidos: (i) primeiros quatro termos (para
); (ii) verificar convergência/divergência; (iii) se convergente, determinar .
Passo 2
Vamos calcular os quatro primeiros termos substituindo
por
um a um.
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
(Aqui eu mostrei passo a passo a substituição e a simplificação para cada
.)
Passo 3
Agora vamos estudar o comportamento quando
cresce muito (isso é,
). Para sequências que são razões de polinômios em
, uma técnica simples e muito usada é dividir numerador e denominador pelo maior grau de
que aparece — aqui ambos têm grau
— e observar os termos que ficam com
.
Dividindo numerador e denominador por
obtemos:
Agora lembre que
quando
. Substituindo esse comportamento na expressão acima, vemos que o numerador tende a
e o denominador tende a
. Portanto
Isso já indica que a sequência é convergente e que o limite é
.
Passo 4
Para reforçar a intuição, olhe os primeiros termos que calculamos:
esses valores mostram que os termos estão diminuindo e parecem aproximar-se de
.
Podemos provar formalmente que a sequência é monótona decrescente e limitada inferiormente por
, o que garante convergência:
- Calculemos a diferença entre termos consecutivos:
Como o denominador
é positivo para
, a diferença é negativa, logo
para todo
: a sequência é estritamente decrescente.
- Mostramos que cada termo é maior que
:
que é verdadeiro para todo
. Assim
para todo
, então a sequência é limitada inferiormente por
.
Portanto a sequência é decrescente e limitada inferiormente, logo converge. Pelo Passo 3, o limite é
.
Resposta
Primeiros quatro termos:
,
,
,
.
Convergente, .
Convergente,