Exercício 2. Escreva os quatro primeiros elementos das sequências e determine se elas são convergentes ou divergentes. Caso seja convergente, ache o seu limite.
\left(\frac{n+1}{2 n-1}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: escrever os quatro primeiros termos da sequência e decidir se a sequência é convergente ou divergente; se for convergente, achar o limite. A sequência é dada por \left(\dfrac{n+1}{2n-1}\right). Vou tomar a convenção usual de sequência indexada pelos naturais começando em \,n=1 (ou seja, os termos são para n=1,2,3,\dots). Informações relevantes do enunciado:
  • Fórmula do termo geral: \displaystyle a_n=\frac{n+1}{2n-1}.
  • Pedidos: (i) primeiros quatro termos (para n=1,2,3,4); (ii) verificar convergência/divergência; (iii) se convergente, determinar \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n.

Passo 2

Vamos calcular os quatro primeiros termos substituindo n por 1,2,3,4 um a um.
Para n=1:
a_1=\frac{1+1}{2\cdot 1-1}=\frac{2}{1}=2.
Para n=2:
a_2=\frac{2+1}{2\cdot 2-1}=\frac{3}{3}=1.
Para n=3:
a_3=\frac{3+1}{2\cdot 3-1}=\frac{4}{5}.
Para n=4:
a_4=\frac{4+1}{2\cdot 4-1}=\frac{5}{7}.
(Aqui eu mostrei passo a passo a substituição e a simplificação para cada n.)

Passo 3

Agora vamos estudar o comportamento quando n cresce muito (isso é, n\to\infty). Para sequências que são razões de polinômios em n, uma técnica simples e muito usada é dividir numerador e denominador pelo maior grau de n que aparece — aqui ambos têm grau 1 — e observar os termos que ficam com 1/n.
Dividindo numerador e denominador por n obtemos:
a_n=\frac{n+1}{2n-1}=\frac{n\left(1+\dfrac{1}{n}\right)}{n\left(2-\dfrac{1}{n}\right)}=\frac{1+\dfrac{1}{n}}{2-\dfrac{1}{n}}.
Agora lembre que \dfrac{1}{n}\to 0 quando n\to\infty. Substituindo esse comportamento na expressão acima, vemos que o numerador tende a 1+0=1 e o denominador tende a 2-0=2. Portanto
\lim_{n\to\infty} a_n=\frac{1}{2}.
Isso já indica que a sequência é convergente e que o limite é \dfrac{1}{2}.

Passo 4

Para reforçar a intuição, olhe os primeiros termos que calculamos:
a_1=2,\quad a_2=1,\quad a_3=\frac{4}{5}=0{,}8,\quad a_4=\frac{5}{7}\approx 0{,}714\ldots
esses valores mostram que os termos estão diminuindo e parecem aproximar-se de 0{,}5.
Podemos provar formalmente que a sequência é monótona decrescente e limitada inferiormente por 1/2, o que garante convergência:
  • Calculemos a diferença entre termos consecutivos:
a_{n+1}-a_n=\frac{n+2}{2n+1}-\frac{n+1}{2n-1}=\frac{-3}{(2n+1)(2n-1)}.
Como o denominador (2n+1)(2n-1) é positivo para n\ge 1, a diferença é negativa, logo a_{n+1}<a_n para todo n\ge 1: a sequência é estritamente decrescente.
  • Mostramos que cada termo é maior que 1/2:
\frac{n+1}{2n-1}>\frac{1}{2}\quad\Longleftrightarrow\quad 2(n+1)>2n-1,
que é verdadeiro para todo n. Assim a_n>\tfrac{1}{2} para todo n, então a sequência é limitada inferiormente por \tfrac{1}{2}.
Portanto a sequência é decrescente e limitada inferiormente, logo converge. Pelo Passo 3, o limite é \tfrac{1}{2}.

Resposta

Primeiros quatro termos: 2, 1, \dfrac{4}{5}, \dfrac{5}{7}.
Convergente, \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n-1}=\frac{1}{2}.

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