Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
;
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. As informações relevantes fornecidas são:
- A expressão da sequência é
. - Vamos assumir a indexação usual de sequência:
(ou seja, toma valores inteiros positivos).
Nada mais é dado; a pergunta é apenas sobre a monotonicidade (se cresce, decresce ou não é monótona).
Passo 2
Conceito e método escolhido (explicado passo a passo, bem mastigado).
- Definição: uma sequência
é estritamente crescente se, para todo , . É estritamente decrescente se, para todo , . Se não acontece nem sempre nem sempre , dizemos que não é monótona. - Método prático: calcular a diferença
e verificar o sinal de
. Se
para todo
então a sequência é estritamente crescente; se
para todo
então é estritamente decrescente.
Passo 3
Escrevendo
e
.
Passo 4
Calculemos a diferença
com cuidado (vai dar uma fração simples):
Colocamos em denominador comum
:
Passo 5
Expandindo os numeradores passo a passo:
Agora subtraímos:
Logo
Passo 6
Análise do sinal de
:
- O numerador é
. - Para
temos e , logo o produto .
Portantopara todo .
Passo 7
Interpretação final: como
para todo
, temos
para todo
. Isso significa que a sequência é estritamente crescente. Para dar intuição numérica rápida (confirmação):
e
, realmente
.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente.