Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
\left(\frac{3 n-1}{4 n+5}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a sequência
\left(\frac{3n-1}{4n+5}\right)_{n}
é crescente, decrescente ou não monótona. As informações relevantes fornecidas são:
  • A expressão da sequência é a_n=\dfrac{3n-1}{4n+5}.
  • Vamos assumir a indexação usual de sequência: n\in\mathbb{N} (ou seja, n toma valores inteiros positivos).
    Nada mais é dado; a pergunta é apenas sobre a monotonicidade (se cresce, decresce ou não é monótona).

Passo 2

Conceito e método escolhido (explicado passo a passo, bem mastigado).
  • Definição: uma sequência (a_n) é estritamente crescente se, para todo n, a_{n+1}>a_n. É estritamente decrescente se, para todo n, a_{n+1}<a_n. Se não acontece nem sempre a_{n+1}\ge a_n nem sempre a_{n+1}\le a_n, dizemos que não é monótona.
  • Método prático: calcular a diferença
\Delta_n := a_{n+1}-a_n
e verificar o sinal de \Delta_n. Se \Delta_n>0 para todo n então a sequência é estritamente crescente; se \Delta_n<0 para todo n então é estritamente decrescente.

Passo 3

Escrevendo a_n e a_{n+1}.
a_n=\frac{3n-1}{4n+5}, \qquad a_{n+1}=\frac{3(n+1)-1}{4(n+1)+5}=\frac{3n+2}{4n+9}.

Passo 4

Calculemos a diferença \Delta_n=a_{n+1}-a_n com cuidado (vai dar uma fração simples):
\Delta_n=\frac{3n+2}{4n+9}-\frac{3n-1}{4n+5}.
Colocamos em denominador comum (4n+9)(4n+5):
\Delta_n=\frac{(3n+2)(4n+5)-(3n-1)(4n+9)}{(4n+9)(4n+5)}.

Passo 5

Expandindo os numeradores passo a passo:
(3n+2)(4n+5)=12n^2+23n+10,
(3n-1)(4n+9)=12n^2+23n-9.
Agora subtraímos:
(3n+2)(4n+5)-(3n-1)(4n+9)=(12n^2+23n+10)-(12n^2+23n-9)=19.
Logo
\Delta_n=\frac{19}{(4n+9)(4n+5)}.

Passo 6

Análise do sinal de \Delta_n:
  • O numerador é 19>0.
  • Para n\in\mathbb{N} temos 4n+5>0 e 4n+9>0, logo o produto (4n+9)(4n+5)>0.
    Portanto \Delta_n>0 para todo n\in\mathbb{N}.

Passo 7

Interpretação final: como \Delta_n=a_{n+1}-a_n>0 para todo n, temos a_{n+1}>a_n para todo n. Isso significa que a sequência é estritamente crescente. Para dar intuição numérica rápida (confirmação): a_1=\dfrac{3\cdot1-1}{4\cdot1+5}=\dfrac{2}{9}\approx0,222 e a_2=\dfrac{5}{13}\approx0,385, realmente a_2>a_1.

Resposta

A sequência \left(\dfrac{3n-1}{4n+5}\right)_{n} é estritamente crescente.

Exercícios relacionados