Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
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Passo 1
O enunciado pede: determinar se a sequência
é crescente, decrescente ou não monótona. Informações dadas: a fórmula geral do termo é
. Vou assumir que os índices
são inteiros naturais (ou seja
e tipicamente
), porque sequências são normalmente indexadas por naturais. Observação importante (da própria expressão): o denominador
nunca é zero para
, então a sequência está bem definida para esses
.
Passo 2
Critério que vamos usar (explicação didática): para testar monotonicidade de uma sequência de índices inteiros, a forma mais direta é comparar termos consecutivos. Definimos a diferença
Se
para todo
na sequência de interesse, então a sequência é estritamente crescente. Se
para todo
, é estritamente decrescente. Se o sinal de
muda com
, então não é monótona. Essa técnica é simples porque transformar a pergunta “o que acontece quando eu passo de
para
?” numa verificação do sinal de uma diferença costuma dar um cálculo direto.
Passo 3
Escrevemos explicitamente
e
:
Passo 4
Calculamos a diferença
passo a passo, usando regra do mínimo denominador comum (multiplicação cruzada):
Agora expandimos os produtos no numerador com cuidado:
Subtraindo esses dois resultados:
Portanto o numerador simplifica para
, e obtemos a forma muito simples
Passo 5
Análise do sinal: para
temos
e
, logo o produto
é positivo. Como o numerador é
, segue que
Portanto cada termo seguinte é maior que o anterior, isto é,
para todo
. Conclusão: a sequência é estritamente crescente.
Passo 6
Comentário extra (opcional, para reforçar o aprendizado): podemos entender o mesmo resultado pelo ponto de vista contínuo. Defina a função
para
. Calculando a derivada (regra do quociente) obtemos
para todo
. Uma derivada positiva significa que
é crescente nas regiões onde está definida; restringindo
aos inteiros positivos recuperamos que a sequência
é estritamente crescente. Esse caminho é só uma verificação alternativa que confirma o resultado obtido pela diferença.
Resposta
A sequência
é estritamente crescente.