Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
\left(\frac{2 n-1}{4 n-1}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado pede: determinar se a sequência \left(\frac{2n-1}{4n-1}\right) é crescente, decrescente ou não monótona. Informações dadas: a fórmula geral do termo é \displaystyle a_n=\frac{2n-1}{4n-1}. Vou assumir que os índices n são inteiros naturais (ou seja \;n\in\mathbb{N}\; e tipicamente \;n\ge 1), porque sequências são normalmente indexadas por naturais. Observação importante (da própria expressão): o denominador \;4n-1\; nunca é zero para n\in\mathbb{N}, então a sequência está bem definida para esses n.

Passo 2

Critério que vamos usar (explicação didática): para testar monotonicidade de uma sequência de índices inteiros, a forma mais direta é comparar termos consecutivos. Definimos a diferença
\Delta_n \;=\; a_{n+1}-a_n.
Se \Delta_n>0 para todo n na sequência de interesse, então a sequência é estritamente crescente. Se \Delta_n<0 para todo n, é estritamente decrescente. Se o sinal de \Delta_n muda com n, então não é monótona. Essa técnica é simples porque transformar a pergunta “o que acontece quando eu passo de n para n+1?” numa verificação do sinal de uma diferença costuma dar um cálculo direto.

Passo 3

Escrevemos explicitamente a_n e a_{n+1}:
a_n=\frac{2n-1}{4n-1},\qquad a_{n+1}=\frac{2(n+1)-1}{4(n+1)-1}=\frac{2n+1}{4n+3}.

Passo 4

Calculamos a diferença \Delta_n=a_{n+1}-a_n passo a passo, usando regra do mínimo denominador comum (multiplicação cruzada):
\Delta_n=\frac{2n+1}{4n+3}-\frac{2n-1}{4n-1} =\frac{(2n+1)(4n-1)-(2n-1)(4n+3)}{(4n+3)(4n-1)}.
Agora expandimos os produtos no numerador com cuidado:
(2n+1)(4n-1)=8n^2+2n-1,
(2n-1)(4n+3)=8n^2+2n-3.
Subtraindo esses dois resultados:
(8n^2+2n-1)-(8n^2+2n-3)=(-1)-(-3)=2.
Portanto o numerador simplifica para 2, e obtemos a forma muito simples
\Delta_n=\frac{2}{(4n+3)(4n-1)}.

Passo 5

Análise do sinal: para n\in\mathbb{N} temos 4n-1>0 e 4n+3>0, logo o produto (4n+3)(4n-1) é positivo. Como o numerador é 2>0, segue que
\Delta_n=\frac{2}{(4n+3)(4n-1)}>0\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
Portanto cada termo seguinte é maior que o anterior, isto é, a_{n+1}>a_n para todo n. Conclusão: a sequência é estritamente crescente.

Passo 6

Comentário extra (opcional, para reforçar o aprendizado): podemos entender o mesmo resultado pelo ponto de vista contínuo. Defina a função f(x)=\dfrac{2x-1}{4x-1} para x\neq\dfrac14. Calculando a derivada (regra do quociente) obtemos
f'(x)=\frac{2(4x-1)-(2x-1)\cdot 4}{(4x-1)^2}=\frac{2}{(4x-1)^2}>0
para todo x\neq\dfrac14. Uma derivada positiva significa que f é crescente nas regiões onde está definida; restringindo x aos inteiros positivos recuperamos que a sequência a_n=f(n) é estritamente crescente. Esse caminho é só uma verificação alternativa que confirma o resultado obtido pela diferença.

Resposta

A sequência \left(\dfrac{2n-1}{4n-1}\right) é estritamente crescente.

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