Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
\left(\frac{1-2 n}{n^{2}}\right)_{n \in \mathbb{R}};

Passo 1

O enunciado dá a sequência cujo termo geral é \displaystyle a_n=\frac{1-2n}{n^{2}}. A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não monótona?
Observação importante sobre o índice: \displaystyle a_n não está definida em n=0 (divisão por zero), então vamos considerar o índice natural positivo \displaystyle n\in\mathbb{N}, n\ge 1. Essas são as informações que usaremos.

Passo 2

Estratégia (explicação didática): para decidir se uma sequência \displaystyle (a_n) é crescente ou decrescente, uma maneira direta e elementar é estudar o sinal da diferença
\Delta_n:=a_{n+1}-a_n.
Se \displaystyle \Delta_n>0 para todo n na região considerada, a sequência é estritamente crescente; se \displaystyle \Delta_n<0 para todo n, é estritamente decrescente; se o sinal muda, não é monótona. Vamos aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Calculemos a_{n+1}. Substituindo n por n+1 no termo geral:
a_{n+1}=\frac{1-2(n+1)}{(n+1)^{2}}=\frac{1-2n-2}{(n+1)^{2}}=\frac{-2n-1}{(n+1)^{2}}.

Passo 4

Agora montamos a diferença \displaystyle \Delta_n=a_{n+1}-a_n:
\Delta_n=\frac{-2n-1}{(n+1)^{2}}-\frac{1-2n}{n^{2}}.
Para comparar os termos, colocamos com denominador comum \displaystyle n^{2}(n+1)^{2}. O numerador fica:
(-2n-1)\,n^{2}-(1-2n)\,(n+1)^{2}.

Passo 5

Expandimos e simplificamos o numerador cuidadosamente (cada passo é importante para evitar erros):
Primeiro,
(-2n-1)\,n^{2}=-2n^{3}-n^{2}.
Segundo, expandimos (n+1)^{2}=n^{2}+2n+1 e então
(1-2n)(n+1)^{2}=(1-2n)(n^{2}+2n+1)=n^{2}+2n+1-2n^{3}-4n^{2}-2n=-2n^{3}-3n^{2}+1.
Agora subtrair esses termos:
(-2n^{3}-n^{2})-(-2n^{3}-3n^{2}+1)=(-2n^{3}-n^{2})+2n^{3}+3n^{2}-1=2n^{2}-1.
Portanto
\Delta_n=\frac{2n^{2}-1}{n^{2}(n+1)^{2}}.

Passo 6

Análise do sinal de \displaystyle \Delta_n:
  • O denominador \displaystyle n^{2}(n+1)^{2} é sempre positivo para todo n\ge 1.
  • O numerador é \displaystyle 2n^{2}-1. Para n\ge 1 temos \displaystyle 2n^{2}-1\ge 2\cdot 1^{2}-1=1>0. Logo \displaystyle 2n^{2}-1>0 para todo n\ge 1.
    Assim \displaystyle \Delta_n>0 para todo n\ge 1.

Passo 7

Conclusão e interpretação prática: como \displaystyle a_{n+1}-a_n>0 para todo n\ge 1, a sequência é estritamente crescente quando considerada nos índices naturais positivos. Para ganhar intuição rápida, veja alguns termos (cálculo rápido): \displaystyle a_1=\frac{1-2}{1^{2}}=-1, \displaystyle a_2=\frac{1-4}{4}=-\tfrac{3}{4}, \displaystyle a_3=\frac{1-6}{9}=-\tfrac{5}{9}; esses valores vão ficando maiores (menos negativos), confirmando o resultado.

Resposta

A sequência é estritamente crescente para \displaystyle n\ge 1.

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