Exercício 4. Determine se as sequências dadas são crescentes, decrescentes ou não monótonas.
;
Passo 1
O enunciado dá a sequência cujo termo geral é
. A pergunta é: a sequência é crescente, decrescente ou não monótona?
Observação importante sobre o índice: não está definida em
(divisão por zero), então vamos considerar o índice natural positivo
,
. Essas são as informações que usaremos.
Observação importante sobre o índice:
Passo 2
Estratégia (explicação didática): para decidir se uma sequência
é crescente ou decrescente, uma maneira direta e elementar é estudar o sinal da diferença
Se
para todo
na região considerada, a sequência é estritamente crescente; se
para todo
, é estritamente decrescente; se o sinal muda, não é monótona. Vamos aplicar isso passo a passo.
Passo 3
Calculemos
. Substituindo
por
no termo geral:
Passo 4
Agora montamos a diferença
:
Para comparar os termos, colocamos com denominador comum
. O numerador fica:
Passo 5
Expandimos e simplificamos o numerador cuidadosamente (cada passo é importante para evitar erros):
Primeiro,
Primeiro,
Segundo, expandimos
e então
Agora subtrair esses termos:
Portanto
Passo 6
Análise do sinal de
:
- O denominador
é sempre positivo para todo . - O numerador é
. Para temos . Logo para todo .
Assimpara todo .
Passo 7
Conclusão e interpretação prática: como
para todo
, a sequência é estritamente crescente quando considerada nos índices naturais positivos. Para ganhar intuição rápida, veja alguns termos (cálculo rápido):
,
,
; esses valores vão ficando maiores (menos negativos), confirmando o resultado.
Resposta
A sequência é estritamente crescente para
.