Exercício 4. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série sumn=1^infty 5l(tfrac23r)^n-1 converge ou diverge. O conteúdo aqui é séries numéricas, mais especificamente séries geométricas, e vamos usar o critério de convergência para séries geométricas e a fórmula da soma.

Passo 2

Reconhecemos que se trata de uma série geométrica na forma
sumn=1^infty a,r^n-1
Comparando com o enunciado, identificamos a = 5 e r = tfrac23.

Passo 3

O critério de convergência de uma série geométrica diz que ela converge se e somente se |r|<1. Como |tfrac23| = tfrac23 < 1, concluímos que a série é convergente.

Passo 4

Para calcular a soma usamos a fórmula da série geométrica convergente:
sumn=1^infty a,r^n-1 = a1-r
Substituindo a=5 e r=tfrac23 obtemos
51-tfrac23 = 5tfrac13 = 15

Resposta

A série converge e sua soma é 15.

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