Exercício 6. Determine a série infinita que tem a seguinte sequência de somas parciais:
\left(s_{n}\right)_{n \in \mathbb{R}}=\left(\frac{1}{2^{n}}\right)_{n \in \mathbb{R}}
Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, obtenha a sua soma.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras: (1) determinar a série infinita cujas somas parciais são dadas pela sequência \left(s_{n}\right) com \;s_{n}=\frac{1}{2^{n}}\; (assumimos que isso vale para n\ge 1); (2) dizer se essa série é convergente ou divergente e, se convergente, obter a sua soma.
Informações fornecidas: \;s_{n}=\dfrac{1}{2^{n}} para n\ge 1. Não foi dada explicitamente s_{0}, mas por convenção tomamos s_{0}=0 (soma de zero termos).

Passo 2

Conceito e fórmula básica que vamos usar (explicação didática): se \left(s_{n}\right) é a sequência de somas parciais de uma série cujos termos são \left(a_{n}\right), então por definição
s_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n}=\sum_{k=1}^{n}a_{k}.
A relação que nos permite obter os termos a_{n} a partir das somas parciais é
a_{n}=s_{n}-s_{n-1}\quad\text{para }n\ge 1,
onde usamos a convenção s_{0}=0. Aqui cada símbolo significa:
  • a_{n}: o n-ésimo termo da série (o que somamos),
  • s_{n}: a soma dos n primeiros termos,
  • s_{n-1}: a soma dos n-1 primeiros termos.
    Essa fórmula é óbvia se você pensar: para obter o novo termo que aparece ao passar de s_{n-1} para s_{n} basta subtrair.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso: como \;s_{n}=\dfrac{1}{2^{n}} para n\ge 1 e \;s_{0}=0, temos primeiro
a_{1}=s_{1}-s_{0}=\frac{1}{2}-0=\frac{1}{2}.
Para n\ge 2,
a_{n}=s_{n}-s_{n-1}=\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{2^{\,n-1}}.
Agora simplificamos essa diferença passo a passo: escrevendo \dfrac{1}{2^{\,n-1}}=\dfrac{2}{2^{n}} obtemos
a_{n}=\frac{1}{2^{n}}-\frac{2}{2^{n}}=\frac{1-2}{2^{n}}=-\frac{1}{2^{n}}.
Portanto os termos da série são
a_{1}=\frac{1}{2},\qquad a_{n}=-\frac{1}{2^{n}}\quad\text{para }n\ge 2.

Passo 4

Escrevendo a série infinita resultante de forma explícita: a série cujo n-ésimo termo é a_{n} encontrada é
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\frac{1}{2}+\sum_{n=2}^{\infty}\left(-\frac{1}{2^{n}}\right).
Também podemos escrever a fórmula de a_{n} de modo peça a peça:
a_{n}=\begin{cases} \frac{1}{2},& n=1,\\[6pt] -\dfrac{1}{2^{n}},& n\ge 2. \end{cases}]

Passo 5

Verificação de convergência e cálculo da soma (duas maneiras que coincidem):
Método 1 — usando o fato básico da teoria de séries: a soma da série é o limite das somas parciais. Como nos foi dado que
s_{n}=\frac{1}{2^{n}},
temos
\lim_{n\to\infty}s_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2^{n}}=0,
porque uma sequência geométrica com razão \left|\dfrac{1}{2}\right|<1 tende a zero. Logo a série converge e sua soma é 0.
Método 2 — somando explicitamente os termos que restam: compute a soma dos termos negativos a partir de n=2:
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}
é uma série geométrica com primeiro termo \dfrac{1}{2^{2}}=\dfrac{1}{4} e razão \dfrac{1}{2}, mas é mais simples usar a soma conhecida
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{1-\tfrac{1}{2}}=1.
Logo
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2},
e portanto
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\frac{1}{2}-\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{2^{n}}=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.
Os dois motivos concordam: a série é convergente e a soma é 0.

Resposta

A série tem termos a_{1}=\dfrac{1}{2} e a_{n}=-\dfrac{1}{2^{n}} para n\ge 2, ou seja
\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}=\frac{1}{2}+\sum_{n=2}^{\infty}\left(-\frac{1}{2^{n}}\right).
A série é convergente e sua soma é 0.

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