Também determine se a série infinita é convergente ou divergente; se for convergente, obtenha a sua soma.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras: (1) determinar a série infinita cujas somas parciais são dadas pela sequência \left(s_{n}\right) com \;s_{n}=\frac{1}{2^{n}}\; (assumimos que isso vale para n\ge 1); (2) dizer se essa série é convergente ou divergente e, se convergente, obter a sua soma.
Informações fornecidas: \;s_{n}=\dfrac{1}{2^{n}} para n\ge 1. Não foi dada explicitamente s_{0}, mas por convenção tomamos s_{0}=0 (soma de zero termos).
Passo 2
Conceito e fórmula básica que vamos usar (explicação didática): se \left(s_{n}\right) é a sequência de somas parciais de uma série cujos termos são \left(a_{n}\right), então por definição
A relação que nos permite obter os termos a_{n} a partir das somas parciais é
a_{n}=s_{n}-s_{n-1}\quad\text{para }n\ge 1,
onde usamos a convenção s_{0}=0. Aqui cada símbolo significa:
a_{n}: o n-ésimo termo da série (o que somamos),
s_{n}: a soma dos n primeiros termos,
s_{n-1}: a soma dos n-1 primeiros termos.
Essa fórmula é óbvia se você pensar: para obter o novo termo que aparece ao passar de s_{n-1} para s_{n} basta subtrair.
Passo 3
Aplicando a fórmula ao nosso caso: como \;s_{n}=\dfrac{1}{2^{n}} para n\ge 1 e \;s_{0}=0, temos primeiro