Exercício 7. Obtenha uma fórmula para s_{n} em termos de n. Determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes, se for convergente encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{2}{5^{n-1}}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) obter uma fórmula para s_{n}, sendo s_{n} a soma parcial dos primeiros n termos; (2) dizer se a série infinita \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{5^{n-1}} é convergente ou divergente e, se convergente, calcular sua soma.
Informações dadas: o termo geral da série é \frac{2}{5^{n-1}} e a soma é feita de n=1 até +\infty. Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Vamos escrever explicitamente a soma parcial s_{n} que você deve encontrar:
s_{n}=\sum_{k=1}^{n}\frac{2}{5^{k-1}}.
Troquei o índice de soma para k para clareza ao manipular os termos; isso não altera nada. Note que o primeiro termo (quando k=1) é \frac{2}{5^{0}}=2.

Passo 3

Perceba a forma dos termos: eles são obtidos multiplicando o termo anterior por uma constante. Isso significa que os termos formam uma progressão geométrica. Vou explicar a ideia que usamos para somar os primeiros n termos de uma progressão geométrica de forma geral, porque isso é exatamente o que precisamos aqui.
Se uma progressão geométrica tem primeiro termo a e razão r, então os n primeiros termos são
a,\; ar,\; ar^{2},\;\dots,\; ar^{n-1}
e a soma parcial é definida por
S_{n}=a+ar+\dots+ar^{n-1}.
Uma maneira prática de obter uma fórmula para S_{n} é multiplicar por r e subtrair das duas equações para cancelar a maioria dos termos. Vou aplicar esse procedimento ao nosso caso em que a e r serão identificados.

Passo 4

Identificamos, comparando com \frac{2}{5^{k-1}}:
  • primeiro termo a= o termo quando k=1, que é a=2,
  • razão r= fator entre termos consecutivos. Um termo dividido pelo anterior dá \dfrac{2/5^{k}}{2/5^{k-1}}=\dfrac{1}{5}, portanto r=\dfrac{1}{5}.
Agora aplicamos a fórmula padrão. Seja
s_{n}=a+ar+\dots+ar^{n-1}.
Multiplicando por r:
r s_{n}=ar+ar^{2}+\dots+ar^{n}.
Subtraindo as duas equações (primeira menos segunda) os termos intermediários se cancelam:
s_{n}-r s_{n}=a-ar^{n}.
Fatorando s_{n}(1-r)=a(1-r^{n}). Logo,
s_{n}=\frac{a(1-r^{n})}{1-r}.

Passo 5

Substituímos os valores de a e r encontrados no passo anterior:
a=2,\qquad r=\frac{1}{5}.
Então
s_{n}=\frac{2\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)}{1-\tfrac{1}{5}}.
Calcule o denominador 1-\tfrac{1}{5}=\tfrac{4}{5}. Dividindo por \tfrac{4}{5} equivale a multiplicar por \tfrac{5}{4}. Assim
s_{n}=2\cdot \frac{5}{4}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr)=\frac{5}{2}\bigl(1-(\tfrac{1}{5})^{n}\bigr).

Passo 6

Agora tratamos da série infinita. A soma da série infinita (se existir) é o limite das somas parciais quando n\to\infty:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{5^{n-1}}=\lim_{n\to\infty}s_{n}.
Usamos a fórmula obtida para s_{n}:
\lim_{n\to\infty}s_{n}=\lim_{n\to\infty}\frac{5}{2}\left(1-\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}\right).
Como \left|\tfrac{1}{5}\right|<1, temos \displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}=0. Portanto
\lim_{n\to\infty}s_{n}=\frac{5}{2}\bigl(1-0\bigr)=\frac{5}{2}.

Passo 7

Conclusão e interpretação final: a série é convergente porque a razão geométrica \left|\tfrac{1}{5}\right|<1, e sua soma é \tfrac{5}{2}. Se a razão tivesse valor absoluto maior ou igual a 1, o termo (\tfrac{1}{5})^{n} não tenderia a zero e a soma infinita não existiria; esse é o critério básico para convergência de séries geométricas.

Resposta

s_{n}=\frac{5}{2}\left(1-\left(\tfrac{1}{5}\right)^{n}\right)
Convergente, soma da série = \dfrac{5}{2}

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