Exercício 8. Determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes. Se for convergente encontre sua soma. \sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.
Passo 1
O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar a sua soma. Informação dada: o termo geral é \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots.
Passo 2
Vamos explicar o que significa que uma série converja. Seja uma série com termos a_n. Definimos a soma parcial de ordem N por
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
A série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é convergente se a sequência (S_N)_{N\ge1} tem limite finito quando N\to\infty. Ou seja, se existir um número finito S tal que
\lim_{N\to\infty} S_N = S.
No nosso caso, a_n=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}. Para decidir convergência vamos calcular explicitamente S_N e depois o seu limite quando N\to\infty.
Passo 3
Identificamos o primeiro termo e a razão que aparecem nos termos:
o primeiro termo é
Para saber se a série converge, tomamos o limite de S_N quando N\to\infty. Observação importante: como |r|=\left|\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{2}{3}<1, a potência r^{N}=(\tfrac{2}{3})^{N} tende a 0 quando N\to\infty. Intuitivamente, multiplicar repetidamente por um número menor que 1 em módulo faz o valor decair até 0. Portanto
Concluímos que a sequência de somas parciais tem limite finito igual a \,2. Logo a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n} é convergente e sua soma é \,2. Você pode decorar o resultado prático: para uma série geométrica com primeiro termo a e razão r com |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}=\frac{a}{1-r},
ou, no nosso formato com termos ar^{n} começando em n=1, a soma é \dfrac{ar}{1-r}. Aqui ambos levam a 2.