Exercício 8. Determine se as séries infinitas são convergentes ou divergentes. Se for convergente encontre sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{n}
é convergente ou divergente e, se for convergente, encontrar a sua soma. Informação dada: o termo geral é \left(\tfrac{2}{3}\right)^{n} para n=1,2,3,\dots.

Passo 2

Vamos explicar o que significa que uma série converja. Seja uma série com termos a_n. Definimos a soma parcial de ordem N por
S_N=\sum_{n=1}^{N} a_n.
A série \sum_{n=1}^{\infty} a_n é convergente se a sequência (S_N)_{N\ge1} tem limite finito quando N\to\infty. Ou seja, se existir um número finito S tal que
\lim_{N\to\infty} S_N = S.
No nosso caso, a_n=\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}. Para decidir convergência vamos calcular explicitamente S_N e depois o seu limite quando N\to\infty.

Passo 3

Identificamos o primeiro termo e a razão que aparecem nos termos:
o primeiro termo é
a = \left(\tfrac{2}{3}\right)^{1} = \tfrac{2}{3},
e a razão entre termos sucessivos é
r=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n+1}}{\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n}}=\tfrac{2}{3}.
Agora vamos obter uma fórmula para a soma parcial S_N usando uma técnica algébrica simples (é um truque padrão para somas geométricas). Escrevemos
S_N = a + ar + ar^2 + \cdots + ar^{N-1}.
Multiplicando ambos os lados por r temos
rS_N = ar + ar^2 + \cdots + ar^{N}.
Subtraindo as duas equalidades ( S_N - rS_N) os termos intermediários se cancelam, sobrando só o primeiro e o último termo:
S_N - rS_N = a - ar^{N}.
Fatorando S_N(1-r) obtemos a fórmula da soma parcial:
S_N = \frac{a(1-r^{N})}{1-r}, \qquad \text{para } r\neq 1.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula ao nosso caso com a=\tfrac{2}{3} e r=\tfrac{2}{3}. Assim
S_N = \frac{\tfrac{2}{3}\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{N}\bigr)}{1-\tfrac{2}{3}}.
Calculamos o denominador:
1-\tfrac{2}{3}=\tfrac{1}{3}.
Portanto
S_N = \frac{\tfrac{2}{3}\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{N}\bigr)}{\tfrac{1}{3}}.
Dividir por \tfrac{1}{3} é multiplicar por 3, então
S_N = 3\cdot \tfrac{2}{3}\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{N}\bigr)=2\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{N}\bigr).

Passo 5

Para saber se a série converge, tomamos o limite de S_N quando N\to\infty. Observação importante: como |r|=\left|\tfrac{2}{3}\right|=\tfrac{2}{3}<1, a potência r^{N}=(\tfrac{2}{3})^{N} tende a 0 quando N\to\infty. Intuitivamente, multiplicar repetidamente por um número menor que 1 em módulo faz o valor decair até 0. Portanto
\lim_{N\to\infty} (\tfrac{2}{3})^{N}=0.
Assim
\lim_{N\to\infty} S_N = \lim_{N\to\infty} 2\bigl(1-(\tfrac{2}{3})^{N}\bigr)=2(1-0)=2.

Passo 6

Concluímos que a sequência de somas parciais tem limite finito igual a \,2. Logo a série \sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac{2}{3}\right)^{n} é convergente e sua soma é \,2. Você pode decorar o resultado prático: para uma série geométrica com primeiro termo a e razão r com |r|<1,
\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}=\frac{a}{1-r},
ou, no nosso formato com termos ar^{n} começando em n=1, a soma é \dfrac{ar}{1-r}. Aqui ambos levam a 2.

Resposta

Convergente, soma \;2

Exercícios relacionados