Exercício 1.8. Determine se as séries convergem ou divergem:
12+raiz[3]23 raiz2+cdots+raiz[3]n(n+1) raizn+cdots

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
sumn=1^infty raiz[3]n(n+1)raizn
converge ou diverge.
O conteúdo aqui é estudo de séries numéricas e vamos usar o teste de comparação assintótico (ou teste da série p) para decidir a convergência.

Passo 2

Escrevemos o termo geral
an = raiz[3]n(n+1)raizn = n^1/3(n+1),n^1/2 = n^1/3n^3/2;11 + 1n = 1n^7/6;11 + 1n,
Para n grande, tfrac11+1/nto1, de modo que
ansim 1n^7/6

Passo 3

Compare com a série p
sumn=1^infty 1n^7/6,
que converge pois 7/6>1.
No teste da comparação por limite, calculamos
L = limntoinfty an1/n^7/6 = limntoinfty 1n^7/6(1+1/n)1n^7/6 = limntoinfty 11+1/n = 1(0<L<infty)
Como o limite L é finito e não nulo, a série sum an tem o mesmo comportamento da série p com p=7/6>1.

Passo 4

Portanto, pelo teste da série p (ou teste de comparação por limite), a série
sumn=1^infty raiz[3]n(n+1)raizn
converge.

Resposta

A série converge.

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