(1,0 ponto) Calcule f^prime(1) sendo que f(x) € dada por f(x)=e^12 x^2+1. Use este valor para encontrar uma equação da reta tangente à curva y=f(x) no ponto (1, f(1)).

Passo 1

O enunciado nos pede a derivada de
f(x)=e^12x^2+1
no ponto x=1 e, em seguida, usá-la para obter a equação da reta tangente à curva y=f(x) em (1,f(1)).
Vamos aplicar a regra da cadeia para derivar uma exponencial e depois usar a forma ponto-inclinação da reta.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=12x^2+1
de modo que
f(x)=e^u(x)
Pela regra da cadeia,
f'(x)=u'(x),e^u(x)

Passo 3

Calculamos u'(x). Como tfrac12x^2=(1/2)x^-2,
u'(x)=l((1/2)x^-2r)' +0 =tfrac12cdot(-2)x^-3 =-x^-3 =-1x^3

Passo 4

Substituindo em f'(x),
f'(x)=-1x^3,e^u(x) =-1x^3,e^12x^2+1
Em x=1 isso vira
f'(1)=-1cdot e^12cdot1^2+1 =-e^12+1 =-e^tfrac32

Passo 5

Também precisamos de f(1):
f(1)=e^12cdot1^2+1 =e^12+1 =e^tfrac32

Passo 6

A equação da reta tangente em (1,f(1)) na forma ponto-inclinação é
y - f(1) = f'(1),(x-1)
Substituindo f(1)=e^3/2 e f'(1)=-e^3/2,
y - e^tfrac32 =-e^tfrac32,(x-1)
Podemos reescrever em forma explícita:
y=-e^tfrac32,x +2e^tfrac32

Resposta

f’( 1) = -e^tfrac32
Equação da reta tangente:
y - e^tfrac32 = -e^tfrac32,(x-1), ou y = -e^tfrac32,x +2e^tfrac32

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