Exercício 1.9. Determine se as séries convergem ou divergem.
1raiz2+32+52 raiz2+cdots+2 n-1(raiz2)^n+cdots

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty 2n-1(raiz2)^n
O conteúdo é de séries numéricas e vamos precisar do teste da razão para convergência absoluta e, como bônus, poderemos obter a soma se escrevermos a série em termos de séries geométricas conhecidas.

Passo 2

Aplicamos o teste da razão. Seja
an = 2n-1(raiz2)^n
Então
an+1an = tfrac2(n+1)-1(raiz2)^,n+1tfrac2n-1(raiz2)^,n = 2n+12n-1;1raiz2 Longrightarrow limntoinftyan+1an = 1raiz2 < 1
Logo a série converge absolutamente.

Passo 3

Para obter a soma, note que se definirmos x=1/raiz2 temos
sumn=1^infty (2n-1)x^n =2sumn=1^infty n,x^n ;-;sumn=1^infty x^n
Sabemos as fórmulas para |x|<1:
sumn=1^infty x^n = x1-x, sumn=1^infty n,x^n = x(1-x)^2

Passo 4

Substituindo x=1/raiz2 em
S = 2x(1-x)^2 - x1-x,
temos
1-x = 1 - 1raiz2 = raiz2-1raiz2, (1-x)^2 = (raiz2-1)^22 = 3-2raiz22
Então
2x(1-x)^2 =2;tfrac1raiz2tfrac3-2raiz22 =4raiz2,(3-2raiz2) =;6raiz2+8
e
x1-x =tfrac1raiz2tfracraiz2-1raiz2 =1raiz2-1 =raiz2+1
Logo
S = (6raiz2+8);-;(raiz2+1) =5raiz2+7

Resposta

A série converge absolutamente (razão 1/raiz2<1) e, de fato, seu valor é
sumn=1^infty2n-1(raiz2)^n =5raiz2+7

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