Exercício 1.8. Determine se as séries convergem ou divergem:
1raiz1 cdot 2+1raiz2 cdot 3+cdots+1raizn cdot(n+1)+cdots

Passo 1

Tá viajando que série é essa? A série é a soma de termos do tipo 1raizn(n+1) pra n indo de 1 até o infinito. O conteúdo aqui é série numérica e a gente vai precisar de teste de comparação (ou teste da série-p) pra ver se converge ou diverge.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar pro termo geral an = 1raizn(n+1). A ideia do teste de comparação é achar outra série que a gente já conheça, tipo a harmônica sum 1n, e comparar os termos.

Passo 3

Repara que raizn(n+1) = nraiz1 + 1n. Como raiz1 + 1n>1, a gente tem raizn(n+1)>n. Daí

Passo 4

an = 1raizn(n+1) < 1n

Passo 5

Mas a série sumn=1^infty 1n é a famosa série harmônica, e ela diverge. Como nossos an são menores que 1/n, isso não ajuda direto (podia convergir mesmo sendo menor). Então vamos usar o teste da comparação limite: calculemos

Passo 6

limntoinfty an1/n = limntoinfty nraizn(n+1) = limntoinfty nnraiz1 + 1/n = 11 = 1

Passo 7

Como esse limite é um número finito diferente de zero, a nossa série e a harmônica têm o mesmo comportamento: divergem.

Resposta

A série diverge.

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