Exercício 1.8. Determine se as séries convergem ou divergem:
1raiz10-1raiz[3]10+cdots+(-1)^nraiz[n]10+cdots

Passo 1

O enunciado dá a série infinita 1raiz10 - 1raiz[3]10 + cdots + (-1)^nraiz[n]10 + cdots. Isso é conteúdo de séries numéricas, e pra decidir convergência ou divergência a gente vai usar principalmente o teste do termo geral (que diz que se o termo não tende a zero, a série não converge).

Passo 2

Vamos identificar o termo geral: se chamarmos un = (-1)^nraiz[n]10, a gente precisa ver o que acontece com un quando ntoinfty.

Passo 3

Olha o módulo pra facilitar: |un| = 1raiz[n]10 = 10^-1/n. Agora, usando propriedades de limite de expoente, temos limntoinfty10^-1/n = 10^0 = 1. Ou seja, limntoinfty|un| = 1.

Passo 4

Como |un| tende a 1, o próprio un não tende a zero (ele fica oscilando entre valores perto de 1 e -1). Pelo teste do termo geral, se un não vai a zero, a série diverge.

Resposta

A série diverge, pois o termo geral não tende a zero.

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