Exercício 3. Determine todo número natural n in N, tal que existe n^prime in N, com n n^prime=1.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente achar todo número natural n tal que exista outro natural n' com
n cdot n' = 1
O conteúdo é bem tranquilo: a gente está vendo multiplicação em N e querendo um “inverso” multiplicativo dentro de N. Para resolver, vamos usar só a definição de número natural, as regras básicas da multiplicação e alguma observação sobre quando um produto pode dar 1.

Passo 2

Primeiro, lembra que em N (considerando o 0 opcionalmente, mas ele não vai ajudar aqui) todo número é 0, 1, 2, 3, … e a multiplicação de dois números naturais é outro natural.
– Se n = 1, então basta escolher n' = 1. De fato:
1 times 1 = 1
Logo n=1 funciona direitinho.

Passo 3

Agora, será que algum outro n funciona?
  1. Se n = 0, aí qualquer n' em N satisfaz 0 times n' = 0, nunca dá 1.
  2. Se n >= 2, então para qualquer n' >= 1 a gente tem
n times n' ;>=; 2 times 1 ;=; 2,
logo nunca dá 1.
Portanto, não tem jeito: só n=1 faz existir um n' natural com produto igual a 1.

Resposta

O único número natural n que satisfaz a condição é
boxedn = 1

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