- Problema 5.22. Prove que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado
é uniformemente contínua em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que se
é contínua em um intervalo fechado e limitado
, então
é uniformemente contínua em
.
Conteúdo: teorema de Heine–Cantor (função contínua em compacto é uniformemente contínua).
Precisamos usar: definição de uniformemente contínua, sequência de Cauchy/compactação em (todo subconjunto fechado e limitado é compacto), argumento de contradição via sequências.
Conteúdo: teorema de Heine–Cantor (função contínua em compacto é uniformemente contínua).
Precisamos usar: definição de uniformemente contínua, sequência de Cauchy/compactação em
Passo 2
Suponha, por contradição, que
não seja uniformemente contínua em
. Então existe
tal que, para todo
, podemos achar
com
Em particular, para cada
tome
. Então existem pontos
com
Passo 3
Como
é fechado e limitado, ele é compacto em
. A sequência
está em
, então por compactação existe uma sub-sequência
que converge para algum ponto
.
Passo 4
Note que
Como
e
, segue que
.
Passo 5
Pela continuidade de
em
, tem-se
Logo
o que contraria o fato de que sempre
.
Resposta
Chegamos a uma contradição. Portanto
é uniformemente contínua em
.