• Problema 5.22. Prove que toda função contínua em um intervalo fechado e limitado I é uniformemente contínua em I.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que se f é contínua em um intervalo fechado e limitado IsubsetR, então f é uniformemente contínua em I.
Conteúdo: teorema de Heine–Cantor (função contínua em compacto é uniformemente contínua).
Precisamos usar: definição de uniformemente contínua, sequência de Cauchy/compactação em R (todo subconjunto fechado e limitado é compacto), argumento de contradição via sequências.

Passo 2

Suponha, por contradição, que f não seja uniformemente contínua em I. Então existe varepsilon0>0 tal que, para todo de<a>0, podemos achar x,yin I com
|x-y|<de<a e |f(x)-f(y)|>=varepsilon0
Em particular, para cada ninN tome de<a=tfrac1n. Então existem pontos xn,ynin I com
|xn-yn|<1n e |f(xn)-f(yn)|>=varepsilon0

Passo 3

Como I é fechado e limitado, ele é compacto em R. A sequência (xn) está em I, então por compactação existe uma sub-sequência l(xnkr) que converge para algum ponto cin I.

Passo 4

Note que
|ynk-c| <=|ynk-xnk|+|xnk-c| <1nk+|xnk-c|
Como nktoinfty e xnkto c, segue que ynkto c.

Passo 5

Pela continuidade de f em c, tem-se
f(xnk)to f(c) e f(ynk)to f(c)
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|f(xnk)-f(ynk)|;longrightarrow;0,
o que contraria o fato de que sempre |f(xnk)-f(ynk)|>=varepsilon0>0.

Resposta

Chegamos a uma contradição. Portanto f é uniformemente contínua em I.

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