Exercício 6. Mostre que:
A operação soma/adição em Z é associativa.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a adição em ℤ é associativa, ou seja, para quaisquer inteiros A,B,C vale
(A + B) + C ;=; A + (B + C)
O conteúdo é propriedade de operações (associatividade) e a construção de ℤ a partir de ℕ. Para resolver a gente vai usar:
  1. Definição de inteiro como classe de equivalência de pares em ℕ².
  2. Definição de soma em ℤ.
  3. Sabemos que a soma em ℕ já é associativa.

Passo 2

Vamos recapitular a construção de ℤ e a definição de soma:
  • Cada inteiro é uma classe de equivalência [(m,n)] de pares (m,n)inN^2, onde (m,n)sim(m',n') se
m + n' ;=; m' + n
  • A soma é dada por
[(m,n)] + [(p,q)] ;=; [(,m + p,;n + q,)]

Passo 3

Agora seja
A = [(m,n)], B = [(p,q)], C = [(r,s)]
Calculamos primeiro (A+B)+C:
(A+B) + C = [(m+p,;n+q)] + [(r,s)] = [, (m+p)+r,;(n+q)+s ,]
E depois A+(B+C):
A + (B+C) = [(m,n)] + [(p+r,;q+s)] = [, m+(p+r),; n+(q+s) ,]

Passo 4

Como a soma em ℕ é associativa, temos
(m+p)+r = m+(p+r) e (n+q)+s = n+(q+s)
Isso mostra que
l((m+p)+r,,(n+q)+sr) = l(m+(p+r),,n+(q+s)r),
logo as classes de equivalência coincidem e
(A+B)+C = A+(B+C)

Resposta

Portanto a operação de soma em Z é associativa.

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