Exercício 6. Mostre que:
A operação soma/adição em
é associativa.
A operação soma/adição em
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra mostrar que a adição em ℤ é associativa, ou seja, para quaisquer inteiros
vale
O conteúdo é propriedade de operações (associatividade) e a construção de ℤ a partir de ℕ. Para resolver a gente vai usar:
- Definição de inteiro como classe de equivalência de pares em ℕ².
- Definição de soma em ℤ.
- Sabemos que a soma em ℕ já é associativa.
Passo 2
Vamos recapitular a construção de ℤ e a definição de soma:
- Cada inteiro é uma classe de equivalência
de pares , onde se
- A soma é dada por
Passo 3
Agora seja
Calculamos primeiro
:
E depois
:
Passo 4
Como a soma em ℕ é associativa, temos
Isso mostra que
logo as classes de equivalência coincidem e
Resposta
Portanto a operação de soma em
é associativa.