Prove que para quaisquer que sejam os conjuntos
e
, tem-se:
se e somente se
se e somente se
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer conjuntos
e
, vale a cadeia de equivalências
Vamos usar a definição de subconjunto e as definições de união e intersecção, fazendo provas por implicações elementares e, quando for igualdade de conjuntos, provando as duas inclusões.
Passo 2
Provar que
Para mostrar que dois conjuntos são iguais costuma-se provar
- Se
, então ou . - Se
, como , segue . - Se
, trivially .
Logo, em todo caso. Assim .
- Se
- Se
, então por definição de união.
Logo.
Concluímos
.
Passo 3
Provar que
Seja
. Então
, e como
segue
. Logo
.
Passo 4
Provar que
De novo mostramos as duas inclusões:
- Se
, então e . Dessa forma , logo . - Se
, como temos . Então e , ou seja, . Logo .
Concluímos
.
Passo 5
Provar que
Seja
. Como
, temos
, isto é,
. Logo
.
Passo 6
Das implicações dos Passos 2 e 3 tiramos
e dos Passos 4 e 5 tiramos
Portanto todos os três enunciados são logicamente equivalentes.