Prove que para quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se:
A subset B se e somente se A cup B=B se e somente se A cap B=A.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados quaisquer conjuntos A e B, vale a cadeia de equivalências
Asubseteq B Long<=ftrightarrow Acup B = B Long<=ftrightarrow Acap B = A
Vamos usar a definição de subconjunto e as definições de união e intersecção, fazendo provas por implicações elementares e, quando for igualdade de conjuntos, provando as duas inclusões.

Passo 2

Provar que
Asubseteq B ;Longrightarrow; Acup B = B
Para mostrar que dois conjuntos são iguais costuma-se provar
Acup B subseteq B e Bsubseteq Acup B
  1. Se xin Acup B, então xin A ou xin B.
    • Se xin A, como Asubseteq B, segue xin B.
    • Se xin B, trivially xin B.
      Logo, em todo caso xin B. Assim Acup Bsubseteq B.
  2. Se xin B, então xin Acup B por definição de união.
    Logo Bsubseteq Acup B.
Concluímos Acup B = B.

Passo 3

Provar que
Acup B = B ;Longrightarrow; Asubseteq B
Seja xin A. Então xin Acup B, e como Acup B=B segue xin B. Logo Asubseteq B.

Passo 4

Provar que
Asubseteq B ;Longrightarrow; Acap B = A
De novo mostramos as duas inclusões:
  1. Se xin Acap B, então xin A e xin B. Dessa forma xin A, logo Acap Bsubseteq A.
  2. Se xin A, como Asubseteq B temos xin B. Então xin A e xin B, ou seja, xin Acap B. Logo Asubseteq Acap B.
Concluímos Acap B = A.

Passo 5

Provar que
Acap B = A ;Longrightarrow; Asubseteq B
Seja xin A. Como A = Acap B, temos xin Acap B, isto é, xin B. Logo Asubseteq B.

Passo 6

Das implicações dos Passos 2 e 3 tiramos
Asubseteq B iff Acup B = B,
e dos Passos 4 e 5 tiramos
Asubseteq B iff Acap B = A
Portanto todos os três enunciados são logicamente equivalentes.

Resposta

Asubseteq B Long<=ftrightarrow Acup B = B Long<=ftrightarrow Acap B = A

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