Exercício 2 - Resolva as seguintes equações de Riccati:
y^{\prime}=\frac{1}{x} y+\frac{1}{x^{2}} y^{2}-1, \quad y_{1}(x)=x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial e uma solução particular:
y'=\frac{1}{x}y+\frac{1}{x^{2}}y^{2}-1,\qquad y_{1}(x)=x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação, usando a informação de que y_{1}(x)=x é uma solução particular. Vou listar claramente as informações úteis:
  • A equação é uma equação de Riccati do tipo com termos quadrático e linear em y.
  • Foi fornecida uma solução particular \;y_{1}(x)=x\;.
  • Objetivo: obter a solução geral y(x) contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Estratégia (sem detalhes técnicos pesados ainda): quando se conhece uma solução particular \;y_{1}(x)\; de uma equação de Riccati, uma substituição padrão que simplifica a equação é
y(x)=y_{1}(x)+\frac{1}{u(x)}.
Explico por quê, passo a passo: substituindo essa forma na equação original, muitos termos envolvendo y_{1} se cancelam porque y_{1} já satisfaz a equação. O que sobra é uma equação de primeira ordem linear para u(x), que sabemos resolver com o método do fator integrante. Agora vou executar isso algebricamente.

Passo 3

Faço a substituição \;y=y_{1}+\dfrac{1}{u}\;. Calculo y':
y' = y_{1}' - \frac{u'}{u^{2}}.
Substituo na equação original e uso que y_{1} satisfaz a própria equação, isto é,
y_{1}'=\frac{1}{x}y_{1}+\frac{1}{x^{2}}y_{1}^{2}-1.
Então, após substituir e cancelar os termos correspondentes a y_{1}, sobra a relação (mostro os passos de cancelamento resumidos):
-\frac{u'}{u^{2}}=\frac{1}{x}\cdot\frac{1}{u}+\frac{1}{x^{2}}\left(2\frac{y_{1}}{u}+\frac{1}{u^{2}}\right).
Multiplico ambos os lados por -u^{2} para obter uma equação para u:
u' + \left(\frac{1}{x}+\frac{2y_{1}}{x^{2}}\right)u = -\frac{1}{x^{2}}.
Isto é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
u' + p(x)\,u = q(x),
onde p(x)=\dfrac{1}{x}+\dfrac{2y_{1}}{x^{2}} e q(x)=-\dfrac{1}{x^{2}}.

Passo 4

Agora uso a solução particular fornecida \;y_{1}(x)=x\; para calcular p(x) e q(x). Substituindo y_{1}=x:
p(x)=\frac{1}{x}+\frac{2x}{x^{2}}=\frac{1}{x}+\frac{2}{x}=\frac{3}{x}, \qquad q(x)=-\frac{1}{x^{2}}.
Portanto a equação para u fica
u' + \frac{3}{x}\,u = -\frac{1}{x^{2}}.

Passo 5

Resolvo a equação linear por fator integrante. O fator integrante é
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{3}{x}\,dx\right)=\exp(3\ln x)=x^{3}.
Multiplico a equação por \mu(x):
x^{3}u' + 3x^{2}u = -x.
O lado esquerdo é a derivada do produto (x^{3}u)', logo
(x^{3}u)' = -x.
Integro ambos os lados em relação a x:
x^{3}u = \int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + C,
onde C é a constante de integração. Assim
u(x)=\frac{-\dfrac{x^{2}}{2}+C}{x^{3}}=\frac{C-\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}}.

Passo 6

Voltamos à substituição y=y_{1}+\dfrac{1}{u} com y_{1}=x. Primeiro calculo 1/u. Como
u=\frac{C-\dfrac{x^{2}}{2}}{x^{3}}=\frac{2C-x^{2}}{2x^{3}},
temos
\frac{1}{u}=\frac{2x^{3}}{2C-x^{2}}.
Portanto a solução geral y(x) é
y(x)=x+\frac{2x^{3}}{2C-x^{2}}.
Faço uma simplificação algébrica útil: juntar em denominador comum
y(x)=\frac{x(2C-x^{2})+2x^{3}}{2C-x^{2}}=\frac{2Cx+x^{3}}{2C-x^{2}}=x\,\frac{2C+x^{2}}{2C-x^{2}}.
Se preferir renomear a constante, ponha K=2C e obtenha a forma alternativa
y(x)=x\,\frac{K+x^{2}}{K-x^{2}},\qquad K\\ \text{constante arbitrária}.á

Passo 7

Observações importantes (para a prova e para interpretar a solução):
  • A família acima contém a solução particular limite y_{1}(x)=x quando a constante tende a infinito (formalmente \,K\to\infty\Rightarrow y\to x). Portanto a solução particular dada está incorporada como caso limite.
  • Há pontos x onde o denominador 2C-x^{2} (ou K-x^{2}) se anula; nesses pontos a solução tem singularidade (assíntota vertical). Isso é normal: a solução geral de Riccati pode ter singularidades dependendo da constante.
  • A solução encontrada é válida onde x\neq 0 (o enunciado já sugere termos com 1/x e 1/x^{2}, logo espera-se x\neq 0) e onde o denominador não zera.

Resposta

y(x)=x\,\frac{2C+x^{2}}{2C-x^{2}},
onde C é constante arbitrária.

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