Exercício 2 - Resolva as seguintes equações de Riccati:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial e uma solução particular:
O que se pede: encontrar a solução geral
da equação, usando a informação de que
é uma solução particular. Vou listar claramente as informações úteis:
- A equação é uma equação de Riccati do tipo com termos quadrático e linear em
. - Foi fornecida uma solução particular
. - Objetivo: obter a solução geral
contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Estratégia (sem detalhes técnicos pesados ainda): quando se conhece uma solução particular
de uma equação de Riccati, uma substituição padrão que simplifica a equação é
Explico por quê, passo a passo: substituindo essa forma na equação original, muitos termos envolvendo
se cancelam porque
já satisfaz a equação. O que sobra é uma equação de primeira ordem linear para
, que sabemos resolver com o método do fator integrante. Agora vou executar isso algebricamente.
Passo 3
Faço a substituição
. Calculo
:
Substituo na equação original e uso que
satisfaz a própria equação, isto é,
Então, após substituir e cancelar os termos correspondentes a
, sobra a relação (mostro os passos de cancelamento resumidos):
Multiplico ambos os lados por
para obter uma equação para
:
Isto é uma equação linear de primeira ordem na forma padrão
onde
e
.
Passo 4
Agora uso a solução particular fornecida
para calcular
e
. Substituindo
:
Portanto a equação para
fica
Passo 5
Resolvo a equação linear por fator integrante. O fator integrante é
Multiplico a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, logo
Integro ambos os lados em relação a
:
onde
é a constante de integração. Assim
Passo 6
Voltamos à substituição
com
. Primeiro calculo
. Como
temos
Portanto a solução geral
é
Faço uma simplificação algébrica útil: juntar em denominador comum
Se preferir renomear a constante, ponha
e obtenha a forma alternativa
Passo 7
Observações importantes (para a prova e para interpretar a solução):
- A família acima contém a solução particular limite
quando a constante tende a infinito (formalmente ). Portanto a solução particular dada está incorporada como caso limite. - Há pontos
onde o denominador (ou ) se anula; nesses pontos a solução tem singularidade (assíntota vertical). Isso é normal: a solução geral de Riccati pode ter singularidades dependendo da constante. - A solução encontrada é válida onde
(o enunciado já sugere termos com e , logo espera-se ) e onde o denominador não zera.
Resposta
onde
é constante arbitrária.