Exercício 4. Determine uma transformação linear que satisfaz as condições indicadas, ou justifique por que tal transformação não existe: cujo núcleo seja gerado por e [ll0 & 0 1 & 1] e cuja imagem seja gerada por 1+x^3 e x+x^2.
Passo 1
O enunciado pede uma transformação linear
T: M2times2( R)to P3( R)
tal que
– o núcleo seja ker T=spanl1&00&0,,0&01&1;
– a imagem seja Im,T=span,1+x^3,,x+x^2.
Vamos usar o Teorema do Núcleo e Imagem e depois escolher uma base adequada para definir T.
Passo 2
O espaço M2times2( R) tem dimensão 4. As duas matrizes dadas são claramente independentes, então dimker T=2. Pelo Teorema do Núcleo e Imagem,
dimIm,T =4-dimker T=2,
e isso bate com dimspan1+x^3,,x+x^2=2. Logo, não há obstrução de dimensão e uma transformação com essas propriedades pode existir.
Passo 3
Escolhemos a base canônica de M2times2:
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1
No núcleo temos ;E11 e E21+E22.
Para completar a base escolhemos E12 e E21, que ficam fora do núcleo.
Passo 4
Vamos definir de modo que
e ao mesmo tempo
Da condição segue
Agora, para uma matriz genérica
temos
Isto é
Fica claro que e como e podem variar livremente, a imagem é exatamente esse espaço de dimensão 2.