(4 pontos) Identificar a cūnica representada peła equação
5 x^2+3 x y-y^2=1
Determinar seus vértices e focos.

Passo 1

Na questão, temos a cônica dada por
5x^2+3xy-y^2=1
Precisamos identificar que tipo de curva é, e então achar seus vértices e focos. Como há termo em xy, vamos usar rotação de eixos para eliminar esse termo.

Passo 2

O discriminante das cônicas com equação geral Ax^2+Bxy+Cy^2+dots=0 é De<a=B^2-4AC. Aqui A=5, B=3, C=-1, logo
De<a=3^2-4cdot5cdot(-1)=9+20=29>0
Como De<a>0, a curva é uma hipérbole.

Passo 3

Para eliminar o termo misto, giramos os eixos de um ângulo theta tal que
tan2theta=BA-C=35-(-1)=12
Desse modo definimos
cos2theta=2raiz5, sin2theta=1raiz5

Passo 4

Nas novas coordenadas (X,Y) sem termo XY, os coeficientes de X^2 e Y^2 são dados por
A'= racA+C2+ racA-C2cos2theta+ rac B2sin2theta, C'= racA+C2-l(A-C2cos2theta+ B2sin2thetar)
Substituindo A=5, B=3, C=-1 e os valores de cos2theta, sin2theta obtém-se
A'=4+3raiz52, C'=4-3raiz52

Passo 5

A equação na forma canônica fica
A'X^2+C'Y^2=1
Como A'>0 e C'<0, reescrevemos como hipérbole
X^2a^2-Y^2b^2=1,
onde
a^2=1A'=24+3raiz5, b^2=1-C'=23raiz5-4

Passo 6

Logo
a=raiz24+3raiz5, b=raiz23raiz5-4
Em (X,Y) os vértices são (pm a,0).

Passo 7

Voltando à base original (x,y) usamos a rotação
x=Xcostheta - Ysintheta, y=Xsintheta + Ycostheta,
com
costheta=raizraiz5+22raiz5, sintheta=raizraiz5-22raiz5
Assim os vértices em (x,y) são
(x,y)=l(pm acostheta,;pm asinthetar)

Passo 8

Para os focos calculamos
c=raiza^2+b^2= raiz12raiz529
Em (X,Y) os focos são (pm c,0), e na base original ficam
(x,y)=l(pm ccostheta,;pm csinthetar)

Resposta

Tipo: hipérbole. Forma canônica após rotação de eixo de ângulo theta com tan2theta=1/2 é
X^2a^2-Y^2b^2=1
com
a^2=24+3raiz5, b^2=23raiz5-4
Os vértices na base original são
l(pm acostheta,pm asinthetar)
e os focos são
l(pm ccostheta,pm csinthetar)
onde
c=raiza^2+b^2=raiz12raiz529,
costheta=raizraiz5+22raiz5,sintheta=raizraiz5-22raiz5

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