(4 pontos) Identificar a cūnica representada peła equação
Determinar seus vértices e focos.
Passo 1
Na questão, temos a cônica dada por
Precisamos identificar que tipo de curva é, e então achar seus vértices e focos. Como há termo em
, vamos usar rotação de eixos para eliminar esse termo.
Passo 2
O discriminante das cônicas com equação geral
é
. Aqui
,
,
, logo
Como
, a curva é uma hipérbole.
Passo 3
Para eliminar o termo misto, giramos os eixos de um ângulo
tal que
Desse modo definimos
Passo 4
Nas novas coordenadas
sem termo
, os coeficientes de
e
são dados por
Substituindo
,
,
e os valores de
,
obtém-se
Passo 5
A equação na forma canônica fica
Como
e
, reescrevemos como hipérbole
onde
Passo 6
Logo
Em
os vértices são
.
Passo 7
Voltando à base original
usamos a rotação
com
Assim os vértices em
são
Passo 8
Para os focos calculamos
Em
os focos são
, e na base original ficam
Resposta
Tipo: hipérbole. Forma canônica após rotação de eixo de ângulo
com
é
com
Os vértices na base original são
e os focos são
onde