( 2 pontos) Seja a elipse
v^24+y^29=1
Deteminar as retas tangentes à elipse dada. que passam pelo ponto (2,-1).

Passo 1

Estamos lidando com a elipse dada por
v^24 + y^29 = 1
O objetivo é achar as retas tangentes a essa elipse que passam pelo ponto (2, –1). Vamos usar geometria analítica de cônicas e o critério de tangência por condição de discriminante nulo.

Passo 2

Escolhemos uma reta genérica de coeficiente angular m que passe por (2,–1). Em coordenadas (v,y) ela é dada por
y + 1 = m,(v - 2),
ou seja
y = m,v - 2m - 1

Passo 3

Substituímos essa expressão de y na equação da elipse. Primeiro escrevemos:
v^24 + (m v - 2m - 1)^29 = 1
Multiplicando ambos os lados por 36, obtemos uma equação quadrática em v:
9v^2 + 4,(m v - 2m - 1)^2 = 36
que se expande e organiza como
(4m^2 + 9),v^2 - (16m^2 + 8m),v + (16m^2 + 16m - 32) = 0

Passo 4

Impondo que essa quadrática tenha uma única solução (condição de tangência), fazemos o discriminante zero:
De<a = (16m^2 + 8m)^2 - 4,(4m^2 + 9),(16m^2 + 16m - 32) = 0
Ao simplificar, obtém-se
-576,m + 1152 = 0 Longrightarrow m = 2
Logo, uma das retas tangentes tem coeficiente angular m=2, e sua equação é
y + 1 = 2,(v - 2) Longrightarrow y = 2v - 5

Passo 5

Além dessa reta oblíqua, devemos checar se existe reta vertical passando por (2,–1). A reta v = 2 intersecta a elipse em
2^24 + y^29 = 1 Longrightarrow y^29 = 0 Longrightarrow y=0,
o que é um ponto de tangência simples (tangente vertical). Portanto a segunda reta é v = 2.

Resposta

As retas são
v = 2
e
y = 2v – 5

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