( 2 pontos) Seja a elipse
Deteminar as retas tangentes à elipse dada. que passam pelo ponto (2,-1).
Passo 1
Estamos lidando com a elipse dada por
O objetivo é achar as retas tangentes a essa elipse que passam pelo ponto (2, –1). Vamos usar geometria analítica de cônicas e o critério de tangência por condição de discriminante nulo.
Passo 2
Escolhemos uma reta genérica de coeficiente angular m que passe por (2,–1). Em coordenadas (v,y) ela é dada por
ou seja
Passo 3
Substituímos essa expressão de y na equação da elipse. Primeiro escrevemos:
Multiplicando ambos os lados por 36, obtemos uma equação quadrática em v:
que se expande e organiza como
Passo 4
Impondo que essa quadrática tenha uma única solução (condição de tangência), fazemos o discriminante zero:
Ao simplificar, obtém-se
Logo, uma das retas tangentes tem coeficiente angular m=2, e sua equação é
Passo 5
Além dessa reta oblíqua, devemos checar se existe reta vertical passando por (2,–1). A reta v = 2 intersecta a elipse em
o que é um ponto de tangência simples (tangente vertical). Portanto a segunda reta é v = 2.
Resposta
As retas são
v = 2
e
y = 2v – 5