Exercício 3. Determine d zd t utilizando a regra da cadeia.
z=ln x y, x=2 t^2, y=t^2+2

Passo 1

O enunciado dá
z=ln(xy), x=2t^2, y=t^2+2
e pede dzdt. Vamos usar a regra da cadeia combinada com a regra do produto, já que u=xy depende de t.

Passo 2

Seja u=xy. Então
z=ln u Longrightarrow dzdt=1u,dudt =1xy,d(xy)dt

Passo 3

Aplicando a regra do produto em u=xy:
dudt=x',y+x,y'
Como x=2t^2 e y=t^2+2, temos
x'=ddt(2t^2)=4t, y'=ddt(t^2+2)=2t

Passo 4

Substituindo em dzdt=x'y+x,y'xy:
dzdt =4t,(t^2+2)+2t^2cdot2t2t^2,(t^2+2) =4t^3+8t+4t^32t^2(t^2+2) =8t^3+8t2t^2(t^2+2) =4(t^2+1)t,(t^2+2)

Resposta

dzdt=4(t^2+1)t,(t^2+2)

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