Nos problemas 1-20, determine se a equação diferencial dada é exata. Se for, resolva-a.
13. x y-2 x e^x+2 e^x-2 x^3=c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
é exata e, em caso afirmativo, encontrar sua solução geral. Aqui identificamos
M(x,y) = y ;-; 2x e^x ;-;6x^2, N(x,y) = x

Passo 2

Verificamos a condição de exatidão, ou seja, se
partial Mpartial y ;=; partial Npartial x
Como
partial Mpartial y =1, partial Npartial x =1,
a equação é exata.

Passo 3

Procuramos uma função potencial Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = M(x,y), partial Psipartial y = N(x,y)
Começamos integrando M em relação a x:
Psi(x,y) = integrall(y -2x e^x -6x^2r),dx = integral y,dx ;-;2integral x e^x,dx ;-;6integral x^2,dx + h(y)

Passo 4

Calculamos cada integral:
integral y,dx = xy, integral x e^x,dx = x e^x - e^x, integral x^2,dx = x^33
Logo
Psi(x,y) = xy ;-;2l(x e^x - e^xr);-;6cdotx^33 + h(y) = xy ;-;2x e^x +2e^x ;-;2x^3 + h(y)

Passo 5

Para ajustar h(y), usamos partialPsi/partial y = N(x,y)=x:
partialPsipartial y = x + h'(y) ;stackrel!=; x Longrightarrow h'(y)=0 ;Longrightarrow; h(y)=constante
Assim a solução implícita geral é
Psi(x,y) = xy ;-;2x e^x +2e^x ;-;2x^3 = C

Resposta

xy ;-;2x e^x +2e^x ;-;2x^3 = C

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