Exercício 2.6.7 Determine o valor da constante c e k de forma que a função dada abaixo seja contínua em ঞ e faça um esboço da função resultante.
f(x)=clx, & se x <= 1 c x+k, & se 1<x<4 -2 x, & se x >= 4;

Passo 1

Estamos com a função
f(x)= x, & x<=1, c x + k, & 1<x<4, -2x, & x>=4,
e queremos que ela seja contínua em toda reta, ou seja, não ter “saltos” em x=1 e em x=4. Para isso aplicamos a condição de continuidade: os limites laterais devem coincidir com o valor da função nesses pontos.

Passo 2

Continuidade em x=1:
f(1^-)=1 (pois no ramo x<=1 temos f(1)=1)
f(1^+)=ccdot1 + k=c + k.
Para não haver salto, igualamos
c + k = 1

Passo 3

Continuidade em x=4:
f(4^-)=ccdot4 + k=4c + k f(4^+)= -2cdot4 = -8.
Igualando para não haver salto, fica
4c + k = -8

Passo 4

Resolvendo o sistema
c + k = 1, 4c + k = -8,
subtraindo a primeira da segunda:
(4c + k) - (c + k) = -8 - 1 ; Rightarrow 3c = -9; Rightarrow c = -3.
Substituindo em c + k = 1
-3 + k = 1 ; Rightarrow k = 4.

Passo 5

Com
Esboço:
  • Para até .
  • Entre e , reta decrescente de coeficiente angular passando por e .
  • Para , reta de coeficiente a partir de .

Resposta

c=-3 e k=4.

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