Exercício 2.6.7 Determine o valor da constante c e de forma que a função dada abaixo seja contínua em ঞ e faça um esboço da função resultante. ;
Passo 1
Estamos com a função
f(x)= x, & x<=1, c x + k, & 1<x<4, -2x, & x>=4,
e queremos que ela seja contínua em toda reta, ou seja, não ter “saltos” em x=1 e em x=4. Para isso aplicamos a condição de continuidade: os limites laterais devem coincidir com o valor da função nesses pontos.
Passo 2
Continuidade em x=1: f(1^-)=1 (pois no ramo x<=1 temos f(1)=1) f(1^+)=ccdot1 + k=c + k.
Para não haver salto, igualamos
c + k = 1
Passo 3
Continuidade em x=4: f(4^-)=ccdot4 + k=4c + k f(4^+)= -2cdot4 = -8.
Igualando para não haver salto, fica
4c + k = -8
Passo 4
Resolvendo o sistema
c + k = 1, 4c + k = -8,
subtraindo a primeira da segunda: (4c + k) - (c + k) = -8 - 1 ;Rightarrow 3c = -9;Rightarrow c = -3.
Substituindo em c + k = 1 dá -3 + k = 1 ;Rightarrow k = 4.
Passo 5
Com
Esboço:
Para até .
Entre e , reta decrescente de coeficiente angular passando por e .