Exercício 0.8 Determine o valor da expressão 5 x^{0}+3 x^{\frac{3}{4}}+4 x^{-\frac{1}{2}}, para x=16.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o valor da expressão 5 x^{0}+3 x^{\frac{3}{4}}+4 x^{-\frac{1}{2}} quando x=16.
Informações dadas: os coeficientes são 5,\,3,\,4 e a variável vale 16. A tarefa é substituir x=16 e simplificar usando propriedades de potências.

Passo 2

Vamos revisar, de forma simples e prática, as propriedades de potências que vamos usar (já que isso é o que cai na prova e salva tempo):
  • Regra do expoente zero: para qualquer número real não nulo a, vale a^{0}=1. Ou seja, potências com expoente zero são 1.
  • Expoente negativo: a^{-r}=\dfrac{1}{a^{r}}. Isso transforma potências com expoente negativo em uma fração com expoente positivo no denominador.
  • Expoente fracionário: para a^{\frac{m}{n}} com inteiros positivos m,n, interpretamos como raiz seguida de potência:
a^{\frac{m}{n}}=\bigl(a^{\frac{1}{n}}\bigr)^{m}=\bigl(\sqrt[n]{a}\bigr)^{m}.
Um jeito prático: primeiro calcula-se a raiz n-ésima e depois eleva ao m-ésimo.
Vou aplicar exatamente essas regras passo a passo no problema.

Passo 3

Calcular o primeiro termo 5 x^{0} com x=16. Usando a regra do expoente zero:
x^{0}=16^{0}=1.
Portanto,
5 x^{0}=5\cdot 1=5.

Passo 4

Calcular o segundo termo 3 x^{\frac{3}{4}} com x=16. Usando a interpretação de expoente fracionário:
16^{\frac{3}{4}}=\bigl(16^{\frac{1}{4}}\bigr)^{3}=\bigl(\sqrt[4]{16}\bigr)^{3}.
Agora, \sqrt[4]{16} é o número que elevado à quarta potência dá 16. Como 2^{4}=16, temos \sqrt[4]{16}=2. Então
16^{\frac{3}{4}}=2^{3}=8.
Multiplicando pelo coeficiente:
3\cdot 16^{\frac{3}{4}}=3\cdot 8=24.

Passo 5

Calcular o terceiro termo 4 x^{-\frac{1}{2}} com x=16. Primeiro aplicamos a regra do expoente negativo e da raiz quadrada:
16^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{16^{\frac{1}{2}}}=\frac{1}{\sqrt{16}}.
Sabemos que \sqrt{16}=4, então
16^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{4}.
Multiplicando pelo coeficiente:
4\cdot 16^{-\frac{1}{2}}=4\cdot \frac{1}{4}=1.

Passo 6

Somando os três termos que calculamos:
5 x^{0}+3 x^{\frac{3}{4}}+4 x^{-\frac{1}{2}} = 5 + 24 + 1 = 30.

Resposta

30

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