Exercício 0.9 Simplifique as expressões abaixo
3 \cdot 2^{\sqrt{3}} 2^{-\sqrt{3}}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão 3 \cdot 2^{\sqrt{3}} 2^{-\sqrt{3}}.
Informações dadas: a base é 2 em ambos os fatores exponenciais; os expoentes são \sqrt{3} e -\sqrt{3}. O objetivo é reduzir essa expressão a uma forma mais simples (um número).

Passo 2

Vamos lembrar uma regra fundamental de potências: se a base é a mesma, ao multiplicar potências somamos os expoentes. Em forma geral:
a^x \cdot a^y = a^{x+y},
onde a é a base (aqui a=2) e x,y são os expoentes (aqui x=\sqrt{3} e y=-\sqrt{3}). Essa regra vale para a>0 e expoentes reais, o que é o nosso caso porque 2>0.
Exemplo simples para fixar: 2^3 \cdot 2^4 = 2^{3+4} = 2^7.

Passo 3

Aplicando a regra ao nosso produto de potências:
2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = 2^{\sqrt{3} + (-\sqrt{3})}.

Passo 4

Calcule a soma dos expoentes:
\sqrt{3} + (-\sqrt{3}) = 0.
Portanto
2^{\sqrt{3}} \cdot 2^{-\sqrt{3}} = 2^{0}.

Passo 5

Recorde outra propriedade importante: qualquer base não nula elevada a 0 vale 1:
a^{0} = 1\quad\text{para }a\neq 0.
Isso pode ser visto porque a^m / a^m = a^{m-m} = a^0 e o quociente à esquerda é 1. Assim, no nosso caso,
2^{0}=1.

Passo 6

Voltando à expressão original, substituímos o produto das potências por 1:
3 \cdot 2^{\sqrt{3}} 2^{-\sqrt{3}} = 3 \cdot 1 = 3.

Resposta

3

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