Exercício 3.1 Determine o valor do limite, se existir: mostre que :
lim x -8 raiz[3]x+2x+8=112

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular
limxto -8raiz[3]x+2x+8
O conteúdo principal aqui é limite de função envolvendo raiz cúbica e a fatoração de soma de cubos para simplificar o quociente.

Passo 2

Fazemos a substituição
y = raiz[3]x,
logo x = y^3 e, quando xto -8, temos yto -2. Em termos de y, o quociente fica
raiz[3]x+2x+8 = y+2y^3 + 8

Passo 3

Observamos que y^3+8 é uma soma de cubos e se fatoriza pela fórmula
y^3 + 2^3 = (y+2),(y^2 - 2y + 4)

Passo 4

Substituindo essa fatoração no denominador do quociente, para yneq -2, obtemos
y+2y^3+8 = y+2(y+2),(y^2 - 2y + 4) = 1y^2 - 2y + 4

Passo 5

Agora basta fazer yto -2 na expressão simplificada. Calculamos
y^2 - 2y + 4 |y=-2 = (-2)^2 -2(-2) +4 =4 +4 +4 =12,
portanto
limyto -21y^2 - 2y +4 =112

Resposta

112

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