• Problema 5.12. Encontre uma função f descontínua nos racionais Q, e uma função g descontínua em apenas um ponto, mas tal que g circ f é descontínua em todo lugar.

Passo 1

Estamos buscando duas funções fcolonRtoR e gcolonRtoR tais que:
  1. f seja descontínua exatamente em cada ponto racional.
  2. g seja descontínua em apenas um ponto.
  3. A composição gcirc f seja descontínua em todo ponto de R.
Conteúdo: funções com conjuntos de descontinuidade e composição de funções.

Passo 2

Definimos
Propriedades conhecidas:
  • Para escolhemos . Em torno de há só finitos racionais com denominador , logo podemos evitar esses pontos e garantir . Assim é contínua em cada irracional.
  • Para , , mas existem irracionais arbitrariamente próximos onde , impedindo limite igual a . Logo é descontínua em todo racional.

Passo 3

Agora escolhemos
Verificações:
  • Se temos sempre , logo contínua ali.
  • Em , há sequência com e , logo é descontínua somente em .

Passo 4

Analisamos [h=g\circ f). Para :
  • Se , então e .
  • Se , escrevendo , então e .
Portanto
que é a função indicadora dos racionais, conhecida por ser descontínua em todo ponto de (\mathbb{R}].

Resposta

A escolha
f(x)= 1q, & x=pq (fração irredutível), 0, & xnotinQ, g(y)= 0, & y=0, 1, & yneq0, çãí
satisfaz os requisitos: f é descontínua exatamente nos racionais, g é descontínua só em 0, e gcirc f é descontínua em todo lugar.

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