Problema 5.12. Encontre uma função descontínua nos racionais , e uma função descontínua em apenas um ponto, mas tal que é descontínua em todo lugar.
Passo 1
Estamos buscando duas funções e tais que:
seja descontínua exatamente em cada ponto racional.
seja descontínua em apenas um ponto.
A composição seja descontínua em todo ponto de .
Conteúdo: funções com conjuntos de descontinuidade e composição de funções.
Passo 2
Definimos
Propriedades conhecidas:
Para escolhemos . Em torno de há só finitos racionais com denominador , logo podemos evitar esses pontos e garantir . Assim é contínua em cada irracional.
Para , , mas existem irracionais arbitrariamente próximos onde , impedindo limite igual a . Logo é descontínua em todo racional.
Passo 3
Agora escolhemos
Verificações:
Se temos sempre , logo contínua ali.
Em , há sequência com e , logo é descontínua somente em .
Passo 4
Analisamos [h=g\circ f). Para :
Se , então e .
Se , escrevendo , então e .
Portanto
que é a função indicadora dos racionais, conhecida por ser descontínua em todo ponto de (\mathbb{R}].