Exercício 3. Determine valores de a, b e c para que as matrizes (ccc1 & 1 & 2 -2 & 0 & -4 1 & 3 & 2) e(ccc2 & 0 & a 0 & -1 & 0 b & c & 0) sejam linha-equivalentes.

Passo 1

O enunciado pede valores de a, b e c tais que as matrizes
A= 1 & 1 & 2 -2 & 0 & -4 1 & 3 & 2 e B= 2 & 0 & a 0 & -1 & 0 b & c & 0
sejam linha-equivalentes. Para isso, vamos usar que duas matrizes são linha-equivalentes exatamente quando têm o mesmo RREF (forma reduzida por linhas).

Passo 2

Calcular o RREF de A. Partindo de
1 & 1 & 2 -2 & 0 & -4 1 & 3 & 2 ,
faremos operações elementares:
  1. R2 R2 + 2R1 e R3 R3 - R1 dão
1 & 1 & 2 0 & 2 & 0 0 & 2 & 0
  1. R3 R3 - R2 gera a linha zero:
1 & 1 & 2 0 & 2 & 0 0 & 0 & 0
  1. Dividindo R2 por 2 e eliminando acima, obtemos
1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0
Logo
RREF(A) = 1 & 0 & 2 0 & 1 & 0 0 & 0 & 0

Passo 3

Calcular o RREF de B em função de a,b,c. Começamos com
2 & 0 & a 0 & -1 & 0 b & c & 0
  1. Dividimos R1 por 2 e R2 por -1:
1 & 0 & tfraca2 0 & 1 & 0 b & c & 0
  1. Eliminamos a coluna 1 em R3: R3 R3 - b,R1, obtendo (0,;c,;-b,tfraca2).
  2. Eliminamos a coluna 2 em R3: R3 R3 - c,R2, resultando em
R3 = (0,;0,;-b,tfraca2)
Assim
RREF(B) = 1 & 0 & tfraca2 0 & 1 & 0 0 & 0 & -,b,tfraca2

Passo 4

Para que RREF(B)=RREF(A) devemos ter
tfraca2=2 e o terceiro pivô nulo. Daí
tfraca2=2implies a=4, -,b,tfraca2=0implies bcdot4=0implies b=0
Não há restrição sobre c, pois ele é eliminado pelas operações de linha.

Resposta

a=4, b=0, c é qualquer número real.

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