- Problema 5.7. Uma função
é chamada de Lipschitz com constante
se:
Dê dois exemplos de funções Lipschitz. Além disso, prove que toda função Lipschitz é contínua.
Passo 1
O enunciado define que uma função
é Lipschitz com constante
se
O que precisamos: (1) dar duas funções que satisfaçam essa desigualdade para algum
e (2) provar que toda função que satisfaz essa condição é necessariamente contínua.
Passo 2
Exemplo 1: função afim
Considere , com
. Então, para quaisquer
,
Considere
Basta tomar
para ver que
é válida. Logo
é Lipschitz de constante
.
Passo 3
Exemplo 2: função seno
Considere . Como
para todo
, pelo Teorema do Valor Médio existe
entre
e
tal que
Considere
Logo
é Lipschitz com constante
.
Passo 4
Prova de que Lipschitz implica contínua
Se é Lipschitz com constante
, dado
escolha
Se
Então, sempre que
temos
Isso é exatamente a definição de continuidade de
em qualquer ponto
. Portanto, toda função Lipschitz é contínua.
Resposta
Dois exemplos:
-
com -
com
Prova: basta usar
no argumento
, garantindo continuidade.