• Problema 5.7. Uma função f: R R é chamada de Lipschitz com constante alpha>0 se:
|f(x)-f(y)| <= alpha|x-y|, forall x, y in R
Dê dois exemplos de funções Lipschitz. Além disso, prove que toda função Lipschitz é contínua.

Passo 1

O enunciado define que uma função fcolonRtoR é Lipschitz com constante alpha>0 se
|f(x)-f(y)|<=alpha,|x-y|forall x,yinR
O que precisamos: (1) dar duas funções que satisfaçam essa desigualdade para algum alpha e (2) provar que toda função que satisfaz essa condição é necessariamente contínua.

Passo 2

Exemplo 1: função afim
Considere f(x)=m,x+b, com m,binR. Então, para quaisquer x,y,
|f(x)-f(y)| = |m,x+b - (m,y+b)| = |m|,|x-y|
Basta tomar alpha=|m| para ver que
|f(x)-f(y)|<=alpha,|x-y|
é válida. Logo f é Lipschitz de constante alpha=|m|.

Passo 3

Exemplo 2: função seno
Considere g(x)=sin(x). Como |cos(x)|<=1 para todo x, pelo Teorema do Valor Médio existe c entre x e y tal que
|sin(x)-sin(y)| = |cos(c)|,|x-y|<= 1cdot|x-y|
Logo g é Lipschitz com constante alpha=1.

Passo 4

Prova de que Lipschitz implica contínua
Se f é Lipschitz com constante alpha, dado varepsilon>0 escolha
de<a = varepsilonalpha
Então, sempre que |x-y|<de<a temos
|f(x)-f(y)|<= alpha,|x-y| < alpha,varepsilonalpha = varepsilon
Isso é exatamente a definição de continuidade de f em qualquer ponto y. Portanto, toda função Lipschitz é contínua.

Resposta

Dois exemplos:
  1. f(x)=m x+b com alpha=|m|
  2. g(x)=sin x com alpha=1
Prova: basta usar de<a=varepsilon/alpha no argumento !|f(x)-f(y)|<=alpha|x-y|<varepsilon, garantindo continuidade.

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