Problema 5.6. Seja para , e . Mostre que não é contínua em .
Passo 1
O enunciado define a função
e pede para mostrar que f não é contínua em x=0. Vamos usar a definição de continuidade e construir um contra-exemplo via epsilon-de<a para provar a descontinuidade.]
Passo 2
Lembrando que f seria contínua em 0 exatamente se
limxto0f(x)=f(0)=c
Em termos de epsilon–de<a, isso significa: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, sempre que 0<|x-0|<de<a, temos |f(x)-c|<varepsilon. Para provar que f é descontínua, basta encontrar um varepsilon>0 que falhe essa condição para todode<a>0.
Passo 3
Escolhemos varepsilon=1. Agora, seja qualquer de<a>0. Queremos achar um x com 0<|x|<de<a que viole |f(x)-c|<1. Note que para xneq0 vale f(x)=1/x, então
|f(x)-c| = l|tfrac1x - cr| >= 1|x| - |c|
Basta garantir 1|x|-|c|>1, ou seja 1|x|>|c|+1. Isso ocorre sempre que
|x|<1|c|+1
Logo, se definirmos
|x|<minlde<a,1|c|+1r,
teremos simultaneamente 0<|x|<de<a e 1|x|>|c|+1, daí
|f(x)-c|>= 1|x|-|c|>1=varepsilon
Isso mostra que, para todode<a>0, existe x em (-de<a,de<a)setminus0 tal que |f(x)-c|>=1.
Passo 4
Como falha a condição de continuidade para varepsilon=1, concluímos que
limxto0f(x)neq f(0),
ou seja, fnão é contínua em x=0.
Resposta
A função f não é contínua em x=0 para nenhum valor real de c.