Exercício 7. Determine o vetor w, simultaneamente ortogonal aos vetores u=(2,1,1) e v= (5,3,-1).

Passo 1

O enunciado pede um vetor vec w que seja ortogonal simultaneamente a vec u=(2,1,1) e vec v=(5,3,-1). Isso é questão de produto escalar (ortogonalidade) e produto vetorial (que gera um vetor perpendicular a dois outros).

Passo 2

Para ser ortogonal a vec u e vec v, vec w deve satisfazer
vec wcdotvec u=0 e vec wcdotvec v=0
Uma forma direta de obter um vetor perpendicular a dois vetores em R^3 é usar o produto vetorial
vec w = vec u times vec v,
pois por construção vec utimesvec v é ortogonal a vec u e a vec v.

Passo 3

Calculando vec utimesvec v via determinante:
vec utimesvec v = i & j & k 2 & 1 & 1 5 & 3 & -1 = i,(1cdot(-1)-1cdot3) - j,(2cdot(-1)-1cdot5) + k,(2cdot3-1cdot5)
Isso dá
vec w =(-1-3), i -(-2-5), j + (6-5), k =-4, i +7, j +1, k
Portanto
vec w =(-4,,7,,1)

Passo 4

Podemos verificar rapidamente:
(-4,7,1)cdot(2,1,1) = -8+7+1=0, (-4,7,1)cdot(5,3,-1) = -20+21-1=0
Logo (-4,7,1) é de fato ortogonal a ambos.

Resposta

vec w =(-4,7,1), ou qualquer múltiplo escalar não nulo de (-4,7,1).

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