Exercício 2.4.8. Determine x>0 para que a série seja convergente.
c) \sum_{k=1}^{+\infty} \frac{x^{k}}{\ln k}

Passo 1

Enunciado: determinar todos os x>0 para os quais a série
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{\ln k}
é convergente.
Informações importantes que o enunciado dá:
  • A expressão \ln 1=0, logo o termo com k=1 é indefinido; portanto a série, na prática, começa em k=2. Vou usar a forma correta
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{x^{k}}{\ln k}.
  • O parâmetro x é positivo: x>0.
  • A pergunta é: para quais valores de x>0 a série converge (convergência absoluta/condicional será tratada quando necessário)?

Passo 2

Estratégia geral e ferramenta principal: vou aplicar o teste da raiz (também chamado de critério da raiz de Cauchy) para tratar os casos x<1 e x>1, e depois analisar separadamente o caso x=1, pois o critério da raiz é inconclusivo quando o limite é 1.
Aula rápida sobre o teste da raiz:
  • Se a_k é uma sequência de termos (reais ou complexos), o teste da raiz usa
L=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}.
  • Se L<1 a série \sum a_k converge absolutamente.
  • Se L>1 a série diverge.
  • Se L=1 o teste é inconclusivo.
Vou aplicar isso a a_k=\dfrac{x^{k}}{\ln k}.

Passo 3

Cálculo de \sqrt[k]{|a_k|} e do seu limite superior:
\sqrt[k]{\left|\frac{x^{k}}{\ln k}\right|} = \sqrt[k]{x^{k}}\;\sqrt[k]{\frac{1}{\ln k}} = x\;(\ln k)^{-1/k}.
Agora preciso do comportamento de (\ln k)^{1/k} quando k\to\infty. Observação técnica:
\lim_{k\to\infty}(\ln k)^{1/k} = \exp\!\Big(\lim_{k\to\infty}\frac{\ln(\ln k)}{k}\Big).
Como \ln(\ln k) cresce muito mais devagar que k, temos \lim_{k\to\infty}\dfrac{\ln(\ln k)}{k}=0, logo
\lim_{k\to\infty}(\ln k)^{1/k}=e^{0}=1.
Portanto
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}= \lim_{k\to\infty} x\;(\ln k)^{-1/k}=x\cdot 1 = x.
Assim \displaystyle L=\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{|a_k|}=x.

Passo 4

Consequências do teste da raiz para x\neq 1:
  • Se 0<x<1, então L=x<1. Pelo teste da raiz a série converge absolutamente. Explicando de um jeito prático: os termos têm fator x^{k} que decai geometricamente, e o divisor \ln k só ajuda ainda mais a diminuir os termos; comparar com uma série geométrica mostra que ela é convergente.
  • Se x>1, então L=x>1. Pelo teste da raiz a série diverge. Outra maneira simples: os termos x^{k}/\ln k não tendem a zero (de fato tendem ao infinito), portanto a série diverge pelo teste necessário da convergência (se os termos não tendem a zero, a série diverge).

Passo 5

Análise separada do caso \;x=1:
A série fica
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{\ln k}.
O teste da raiz deu L=1 aqui, então é inconclusivo — precisamos de outro método. Vou usar o teste de condensação de Cauchy (muito útil para termos decrescentes positivos do tipo a_k=f(k) com f lenta como \ln).
Enunciado do teste de condensação de Cauchy (explicado): se (a_k) é uma sequência positiva e decrescente para k grande, então \sum_{k=1}^\infty a_k converge se, e somente se, a série condensada \sum_{n=1}^\infty 2^n a_{2^n} converge.
Aplicação: para a_k=\dfrac{1}{\ln k} sabemos que a_k é positiva e decrescente para k\ge 3, então podemos aplicar o teste. A série condensada é
\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}a_{2^{n}}=\sum_{n=1}^{\infty}2^{n}\frac{1}{\ln(2^{n})}.
Como \ln(2^{n})=n\ln 2, isso fica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n\ln 2}.
Observe que os termos desta série são da forma \dfrac{2^{n}}{n} (apenas multiplicados pela constante 1/\ln 2). A sequência de termos \dfrac{2^{n}}{n} não tende a zero (na verdade tende a +\infty), portanto a soma \sum \dfrac{2^{n}}{n} diverge imediatamente. Assim a série condensada diverge, e pelo teste de condensação a série original \sum_{k=2}^\infty \dfrac{1}{\ln k} diverge.
Conclusão do caso x=1: a série diverge.

Passo 6

Resumo-pedagógico e dica de prova:
  • Para séries que envolvem x^{k} o teste da raiz costuma ser a ferramenta direta: calcule \limsup \sqrt[k]{|a_k|}. Se for menor que 1 tem convergência absoluta; maior que 1 diverge.
  • Se o limite for 1 (caso borderline), procure um teste específico (comparação, integral, condensação). Aqui a condensação resolve o caso x=1.

Resposta

A série converge se, e somente se, 0<x<1.

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