Exercício 2.4.6. Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
c)
c)
Passo 1
O enunciado pede para estudar a convergência da série
Informações dadas e o que precisamos decidir:
- A expressão do termo geral é
. - A pergunta é se a série
converge ou diverge. - Observação imediata: para todo
o numerador e o denominador são positivos, logo para . Portanto trata-se de uma série de termos não-negativos (podemos usar testes de comparação).
Passo 2
Lembrete didático: teste da série p (p-series)
converge se, e somente se,
. Aqui
é um número real que indica a potência no denominador; por exemplo
converge (pois
), enquanto
diverge (pois
). Esse teste é muito usado como referência na comparação para séries de termos positivos.
Passo 3
Estratégia escolhida: usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série p de referência
, pois ao olhar os graus no numerador e denominador de
vemos que para
grande
Vou aplicar formalmente o teste da comparação por limite com
.
Passo 4
Calculemos o limite
Agora simplificamos a expressão no limite dividindo numerador e denominador por
:
Tomando o limite quando
obtemos
Como o limite é um número finito e estritamente positivo (aqui
), pelo teste da comparação por limite as séries
e
têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).
Passo 5
Concluímos usando o teste p: a série de referência
é uma p-série com
, portanto converge. Pelo resultado do passo anterior (limite = 1), a série dada
também converge.
Passo 6
Observação adicional (método alternativo, útil na prova): comparação direta para
Como para
vale
, temos
Assim
é dominada por
, que converge; logo
converge por comparação direta. Esse caminho é totalmente elementar e evita cálculo de limites, serve como alternativa prática em prova.
Resposta
Converge.