Exercício 2.4.6. Estude a série dada com relação a convergência ou divergência.
c) \sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}+2}{k^{5}+2 k+1}

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}+2}{k^{5}+2 k+1}.
Informações dadas e o que precisamos decidir:
  • A expressão do termo geral é \displaystyle a_{k}=\frac{k^{2}+2}{k^{5}+2 k+1}.
  • A pergunta é se a série \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty} a_{k} converge ou diverge.
  • Observação imediata: para todo k\ge1 o numerador e o denominador são positivos, logo a_{k}>0 para k\ge1. Portanto trata-se de uma série de termos não-negativos (podemos usar testes de comparação).

Passo 2

Lembrete didático: teste da série p (p-series)
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{p}}
converge se, e somente se, p>1. Aqui p é um número real que indica a potência no denominador; por exemplo \sum 1/k^{2} converge (pois 2>1), enquanto \sum 1/k diverge (pois 1\le1). Esse teste é muito usado como referência na comparação para séries de termos positivos.

Passo 3

Estratégia escolhida: usar o teste da comparação por limite (limit comparison test) com a série p de referência \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}}, pois ao olhar os graus no numerador e denominador de a_{k} vemos que para k grande
a_{k}\approx\frac{k^{2}}{k^{5}}=\frac{1}{k^{3}}.
Vou aplicar formalmente o teste da comparação por limite com b_{k}=\dfrac{1}{k^{3}}.

Passo 4

Calculemos o limite
\lim_{k\to\infty}\frac{a_{k}}{b_{k}} =\lim_{k\to\infty}\frac{\dfrac{k^{2}+2}{k^{5}+2k+1}}{\dfrac{1}{k^{3}}} =\lim_{k\to\infty}\frac{k^{3}(k^{2}+2)}{k^{5}+2k+1}.
Agora simplificamos a expressão no limite dividindo numerador e denominador por k^{5}:
\frac{k^{3}(k^{2}+2)}{k^{5}+2k+1} =\frac{k^{5}+2k^{3}}{k^{5}+2k+1} =\frac{1+\dfrac{2}{k^{2}}}{1+\dfrac{2}{k^{4}}+\dfrac{1}{k^{5}}}.
Tomando o limite quando k\to\infty obtemos
\lim_{k\to\infty}\frac{1+\dfrac{2}{k^{2}}}{1+\dfrac{2}{k^{4}}+\dfrac{1}{k^{5}}}= \frac{1+0}{1+0+0}=1.
Como o limite é um número finito e estritamente positivo (aqui =1), pelo teste da comparação por limite as séries \sum a_{k} e \sum b_{k} têm o mesmo comportamento (ou ambas convergem, ou ambas divergem).

Passo 5

Concluímos usando o teste p: a série de referência \displaystyle \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{3}} é uma p-série com p=3>1, portanto converge. Pelo resultado do passo anterior (limite = 1), a série dada
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{k^{2}+2}{k^{5}+2 k+1}
também converge.

Passo 6

Observação adicional (método alternativo, útil na prova): comparação direta para k\ge1
k^{5}+2k+1\ge k^{5}\quad\Rightarrow\quad a_{k}=\frac{k^{2}+2}{k^{5}+2k+1}\le\frac{k^{2}+2}{k^{5}}=\frac{1}{k^{3}}+\frac{2}{k^{5}}.
Como para k\ge1 vale \dfrac{2}{k^{5}}\le\dfrac{2}{k^{3}}, temos
a_{k}\le\frac{1}{k^{3}}+\frac{2}{k^{3}}=\frac{3}{k^{3}}.
Assim \displaystyle \sum a_{k} é dominada por \displaystyle \sum \frac{3}{k^{3}}=3\sum \frac{1}{k^{3}}, que converge; logo \sum a_{k} converge por comparação direta. Esse caminho é totalmente elementar e evita cálculo de limites, serve como alternativa prática em prova.

Resposta

Converge.

Exercícios relacionados