Exercício 2.4.7. Determine x>0 para que a série seja convergente.
e) \sum_{k=3}^{+\infty} \frac{x^{k}}{\ln k}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=3}^{+\infty} \frac{x^{k}}{\ln k}
com a condição x>0, e pede: determinar os valores de x>0 para os quais a série é convergente.
Informações relevantes: os termos gerais são a_k=\dfrac{x^{k}}{\ln k} para k\ge 3. Não há outras restrições no enunciado.

Passo 2

Vamos testar convergência para 0<x<1 e para x>1 usando o Critério da Raiz (root test). Primeiro, explico o critério de forma simples: para uma sequência de termos a_k com a_k\ge 0, se
\limsup_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=L,
então a série \sum a_k converge se L<1, diverge se L>1, e o caso L=1 é inconclusivo. É uma ferramenta prática quando os termos têm fator exponencial em k.
Aplicando ao nosso termo a_k=\dfrac{x^{k}}{\ln k}, calcule a k-ésima raiz:
\sqrt[k]{a_k}=\sqrt[k]{\frac{x^{k}}{\ln k}}=x\cdot (\ln k)^{-1/k}.
Agora precisamos do limite de (\ln k)^{1/k} quando k\to\infty. Faço isso tomando logaritmo:
\ln\big((\ln k)^{1/k}\big)=\frac{\ln(\ln k)}{k}\xrightarrow{k\to\infty}0,
portanto
(\ln k)^{1/k}\xrightarrow{k\to\infty}e^{0}=1.
Assim
\lim_{k\to\infty}\sqrt[k]{a_k}=\lim_{k\to\infty} x\cdot (\ln k)^{-1/k}=x\cdot 1 = x.
Pelo Critério da Raiz: se x<1 a série converge absolutamente; se x>1 a série diverge (porque a raiz limite >1 implica divergência).

Passo 3

Falta analisar o caso de contorno x=1. Para x=1 a série fica
\sum_{k=3}^{\infty}\frac{1}{\ln k}.
Os termos são positivos e monótonamente decrescentes para k\ge 3 (isso porque a função f(t)=1/\ln t tem derivada negativa para t>e), então podemos usar o Teorema da Condensação de Cauchy (vou explicar): se (b_k) é decrescente e positiva, a série \sum b_k converge se, e somente se, a série \sum 2^n b_{2^n} converge. Aqui tome b_k=\dfrac{1}{\ln k}. Então
2^n b_{2^n}=2^n\cdot\frac{1}{\ln(2^n)}=2^n\cdot\frac{1}{n\ln 2}=\frac{2^n}{n\ln 2}.
Note que os termos \dfrac{2^n}{n\ln 2} crescem sem limite quando n\to\infty (pois 2^n cresce exponencialmente enquanto n só cresce linearmente), então em particular não tendem a zero. Se os termos de uma série não tendem a zero, a série diverge imediatamente. Portanto a série condensada \sum_{n}\dfrac{2^n}{n\ln 2} diverge, e pelo Teorema de Cauchy a série original \sum_{k=3}^{\infty}\dfrac{1}{\ln k} também diverge. Conclusão: para x=1 a série diverge.

Passo 4

Juntando tudo: pelo Passo 2 temos convergência absoluta quando x<1 e divergência quando x>1; pelo Passo 3 o caso x=1 também diverge. Como o enunciado pede x>0, o conjunto de valores de x nos quais a série converge é exatamente os x positivos estritamente menores que 1.

Resposta

0<x<1

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