Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
Passo 1
O enunciado pede: determinar os zeros reais da função
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é o polinômio
. - Precisamos encontrar todos os valores reais de
tais que .
Passo 2
Escolha do método: Observando
, ambos os termos têm um fator comum (o número
e uma potência de
). Quando existe um fator comum é mais simples fatorar por esse fator comum e usar a propriedade do produto nulo. Esse é o método mais direto aqui e é o que eu vou usar.
Passo 3
Fatorar por fator comum: extrai-se o maior fator que divide todos os termos. Os termos são
e
. O maior coeficiente comum é
e a menor potência de
presente é
. Portanto o fator comum é
. Fatorando:
Explicando passo a passo: dividir
por
dá
; dividir
por
dá
. Então o parêntese é
.
Passo 4
Propriedade do produto nulo: se um produto de dois fatores é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos, se
então
ou
. Aqui aplicamos essa propriedade a
.
Passo 5
Aplicando a propriedade do produto nulo aos fatores:
- Primeiro fator:
. Como é diferente de zero, divide-se por para obter . - Segundo fator:
. Somando aos dois lados, obtemos .
Passo 6
Verificação rápida (substituição de volta na função):
- Para
: . - Para
: .
Ambos realmente anulam a função, portanto são zeros corretos.
Passo 7
Observação sobre multiplicidade: na fatoração
os fatores lineares em
aparecem apenas uma vez cada, então cada zero tem multiplicidade
. (Isso é só para informação extra; não muda os valores encontrados.)