Exercício 0.2 Determine os zeros reais das funções abaixo.
f(x)=2 x^{2}-4 x

Passo 1

O enunciado pede: determinar os zeros reais da função f(x)=2 x^{2}-4 x.
Informações dadas:
  • A função é o polinômio f(x)=2 x^{2}-4 x.
  • Precisamos encontrar todos os valores reais de x tais que f(x)=0.

Passo 2

Escolha do método: Observando f(x)=2 x^{2}-4 x, ambos os termos têm um fator comum (o número 2 e uma potência de x). Quando existe um fator comum é mais simples fatorar por esse fator comum e usar a propriedade do produto nulo. Esse é o método mais direto aqui e é o que eu vou usar.

Passo 3

Fatorar por fator comum: extrai-se o maior fator que divide todos os termos. Os termos são 2 x^{2} e -4 x. O maior coeficiente comum é 2 e a menor potência de x presente é x^{1}. Portanto o fator comum é 2x. Fatorando:
f(x)=2 x^{2}-4 x=2x\bigl(x-2\bigr).
Explicando passo a passo: dividir 2x^{2} por 2x x; dividir -4x por 2x -2. Então o parêntese é (x-2).

Passo 4

Propriedade do produto nulo: se um produto de dois fatores é zero então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos, se A\cdot B=0 então A=0 ou B=0. Aqui aplicamos essa propriedade a 2x\bigl(x-2\bigr)=0.

Passo 5

Aplicando a propriedade do produto nulo aos fatores:
  • Primeiro fator: 2x=0. Como 2 é diferente de zero, divide-se por 2 para obter x=0.
  • Segundo fator: x-2=0. Somando 2 aos dois lados, obtemos x=2.

Passo 6

Verificação rápida (substituição de volta na função):
  • Para x=0: f(0)=2\cdot 0^{2}-4\cdot 0=0-0=0.
  • Para x=2: f(2)=2\cdot 2^{2}-4\cdot 2=2\cdot 4-8=8-8=0.
    Ambos realmente anulam a função, portanto são zeros corretos.

Passo 7

Observação sobre multiplicidade: na fatoração 2x(x-2) os fatores lineares em x aparecem apenas uma vez cada, então cada zero tem multiplicidade 1. (Isso é só para informação extra; não muda os valores encontrados.)

Resposta

x=0
x=2

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