Exercício 2. Qual deve ser o valor de k para que a equação x^2+8 x+k-1=0 possua somente uma solução?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a equação quadrática x^2 + 8x + k - 1 = 0 e precisa descobrir qual o valor de k que faz essa equação ter apenas uma solução. Para resolver isso, vamos usar o discriminante da equação do segundo grau. O discriminante nos ajuda a saber quantas soluções reais uma equação quadrática possui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral de uma equação quadrática: ax^2 + bx + c = 0. No nosso caso, temos:
  • a = 1 (o coeficiente de x^2)
  • b = 8 (o coeficiente de x)
  • c = k - 1 (o termo constante)

Passo 3

O discriminante ( De<a) é dado por:
De<a = b^2 - 4ac
Esse valor nos diz quantas soluções reais a equação tem:
  • Se De<a > 0: duas soluções reais e diferentes.
  • Se De<a = 0: uma única solução real (ou duas soluções iguais).
  • Se De<a < 0: nenhuma solução real.
Como queremos que a equação tenha apenas uma solução, vamos fazer De<a = 0.

Passo 4

Vamos substituir os valores de a, b e c na fórmula do discriminante:
De<a = 8^2 - 4 times 1 times (k - 1) = 0
Simplificando:
64 - 4(k - 1) = 0

Passo 5

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar k:
Primeiro, distribui o -4:
64 - 4k + 4 = 0
Depois, soma 64 + 4:
68 - 4k = 0
Agora, isolamos k:
-4k = -68 k = 684 k = 17

Resposta

O valor de k deve ser 17 para que a equação x^2 + 8x + k - 1 = 0 possua somente uma solução.

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