Exercício 1. Resolva as seguintes equações:
2 x+1x+5=3 x-1x+7, em que x neq-7 e x neq-5

Passo 1

Vamos resolver a equação 2x + 1x + 5 = 3x - 1x + 7. Esse exercício é de Matemática, especificamente de equações racionais. Para resolver, vamos precisar encontrar o valor de x que satisfaz a igualdade entre as duas frações dadas.

Passo 2

Primeiro, para resolver equações que envolvem frações, uma boa estratégia é eliminar os denominadores. Para isso, vamos multiplicar ambos os lados da equação pelo produto dos denominadores, que é (x + 5)(x + 7).

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por (x + 5)(x + 7), temos:
(x + 5)(x + 7) cdot 2x + 1x + 5 = (x + 5)(x + 7) cdot 3x - 1x + 7

Passo 4

Simplificando os denominadores, já que (x + 5) cancela com (x + 5) e (x + 7) cancela com (x + 7), ficamos com:
(2x + 1)(x + 7) = (3x - 1)(x + 5)

Passo 5

Agora, vamos expandir as multiplicações. Primeiro, multiplicando (2x + 1)(x + 7):
2x cdot x + 2x cdot 7 + 1 cdot x + 1 cdot 7 = 2x^2 + 14x + x + 7 = 2x^2 + 15x + 7

Passo 6

Em seguida, multiplicando (3x - 1)(x + 5):
3x cdot x + 3x cdot 5 - 1 cdot x - 1 cdot 5 = 3x^2 + 15x - x - 5 = 3x^2 + 14x - 5

Passo 7

Agora, temos a equação:
2x^2 + 15x + 7 = 3x^2 + 14x - 5
Vamos trazer todos os termos para um lado para igualar a zero. Subtraindo 2x^2 + 15x + 7 de ambos os lados:
0 = x^2 - x - 12

Passo 8

Agora, precisamos resolver a equação quadrática x^2 - x - 12 = 0. Vamos usar a fórmula de Bhaskara, que é:
x = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Onde a = 1, b = -1 e c = -12.

Passo 9

Calculando o discriminante De<a = b^2 - 4ac:
De<a = (-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-12) = 1 + 48 = 49

Passo 10

Como De<a = 49 é positivo, temos duas soluções reais:
x = -(-1) pm raiz492 cdot 1
x = 1 pm 72

Passo 11

Calculando as duas soluções:
x = 1 + 72 = 82 = 4
x = 1 - 72 = -62 = -3

Resposta

As soluções da equação são x = 4 e x = -3.

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