Exercício 3. Verifique se as funções a seguir são pares, ímpares ou nenhum dos dois casos.
f(x)=4 x^3-x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para verificar se a função f(x) = 4x^3 - x é par, ímpar ou nenhum dos dois. Para isso, vamos usar alguns conceitos de funções pares e ímpares que são fundamentais no estudo de simetrias em matemática.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser par ou ímpar.
  • Função Par: Uma função f(x) é dita par se f(-x) = f(x) para todo x no domínio da função. Isso significa que o gráfico da função é simétrico em relação ao eixo y.
  • Função Ímpar: Uma função f(x) é dita ímpar se f(-x) = -f(x) para todo x no domínio da função. Isso implica que o gráfico é simétrico em relação à origem.
Se a função não satisfaz nenhuma dessas condições, então ela não é nem par nem ímpar.

Passo 3

Vamos aplicar essas definições à função dada f(x) = 4x^3 - x .
Primeiro, vamos calcular f(-x) :
f(-x) = 4(-x)^3 - (-x) = 4(-x^3) + x = -4x^3 + x
Agora, vamos verificar se f(-x) é igual a f(x) ou a -f(x) :
  • Comparando f(-x) com f(x) :
f(-x) = -4x^3 + x e f(x) = 4x^3 - x
Claramente, f(-x) neq f(x) , então a função não é par.
  • Agora, comparando f(-x) com -f(x) :
-f(x) = - (4x^3 - x) = -4x^3 + x
Aqui, vemos que:
f(-x) = -4x^3 + x = -f(x)
Ou seja, f(-x) = -f(x) , o que satisfaz a condição para a função ser ímpar.

Resposta

A função f(x) = 4x^3 - x é ímpar.

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