Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo
adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
(raiz positiva não nula)
Passo 1
O enunciado pede que, para a equação
, seja isolada uma raiz positiva não nula num intervalo
usando o Teorema de Bolzano, e que sejam realizadas 5 iterações do método da bisseção, com os resultados organizados em tabela.
Informações relevantes fornecidas e escolhidas:
Informações relevantes fornecidas e escolhidas:
- Queremos a raiz positiva não nula da equação
. - Definiremos a função auxiliar
e buscaremos um intervalo com tal que (mudança de sinal). - Depois faremos 5 iterações da bisseção sobre esse intervalo.
Passo 2
Aplicando o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) — explicação curta e didática:
- Teorema de Bolzano: se
é contínua em e , então existe pelo menos um tal que . - Aqui definimos
. A função é contínua e a função é contínua, logo é contínua em todo . Portanto Bolzano pode ser aplicado.
Escolha do intervalo inicial: testar pontos simples positivos. - Calculemos
e :
- Como
, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz de em . Esse intervalo isola uma raiz positiva não nula da equação.
Passo 3
Descrição do método da bisseção (aula curta e prática):
- Dado um intervalo
com , o método da bisseção procede assim: - Calcular o ponto médio
. - Avaliar
. - Substituir o intervalo por
se , ou por se . - Repetir até atingir o número desejado de iterações ou precisão.
- Calcular o ponto médio
- A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por
; após iterações o erro absoluto máximo na aproximação pelo ponto médio é (ou a distância do ponto médio ao verdadeiro zero é dependendo da convenção).
Passo 4
Realização de 5 iterações da bisseção sobre
. Aqui
. Nas avaliações de
foram usadas aproximações numéricas com precisão suficiente para decidir sinal (pode-se usar calculadora ou tabelas na prova). A tabela a seguir resume cada iteração: iteração
, intervalo
, ponto médio
, valores
e a escolha do subintervalo para a próxima iteração.
| Iteração
|
|
|
|
|
|
|
Escolha do próximo intervalo |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 |
|
|
— |
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|
— | intervalo inicial
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| 1 |
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| 2 |
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| 3 |
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| 4 |
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| 5 |
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Observações sobre os números:
- As aproximações usadas para
foram (com separador decimal por vírgula): , , , , , . Essas levaram às avaliações de mostradas na tabela (arredondadas a 6 casas). - Após 5 iterações o intervalo que isola a raiz é
. O ponto médio da última iteração é com . - Bônus (cálculo do erro): o comprimento inicial do intervalo era
. Após 5 iterações o comprimento do intervalo é . Assim a raiz real está dentro de distância do ponto médio .
Passo 5
Interpretação final (motivação para a prova): com poucas iterações você já estreita bastante onde fica a raiz; o método da bisseção é robusto (sempre converge linearmente) e exige apenas continuidade e mudança de sinal — por isso é muito usado em provas quando não se pede muita precisão, só garantia de existência e uma aproximação confiável.
Resposta
Intervalo final após 5 iterações:
Aproximação pelo ponto médio após 5 iterações:
Aproximação pelo ponto médio após 5 iterações: