Exercício 6 - Diferentes funções
Para cada equação abaixo, isole uma raiz em um intervalo a, b adequado (use o Teorema de Bolzano) e realize 5 iterações da bisseção, organizando os resultados em tabela.
\sin x=x / 2 \quad (raiz positiva não nula)

Passo 1

O enunciado pede que, para a equação \sin x = x/2, seja isolada uma raiz positiva não nula num intervalo [a,b] usando o Teorema de Bolzano, e que sejam realizadas 5 iterações do método da bisseção, com os resultados organizados em tabela.
Informações relevantes fornecidas e escolhidas:
  • Queremos a raiz positiva não nula da equação \sin x = x/2.
  • Definiremos a função auxiliar \,f(x)=\sin x - x/2\, e buscaremos um intervalo [a,b] com a>0 tal que f(a)\cdot f(b)<0 (mudança de sinal).
  • Depois faremos 5 iterações da bisseção sobre esse intervalo.

Passo 2

Aplicando o Teorema de Bolzano (ou Teorema do Valor Intermediário) — explicação curta e didática:
  • Teorema de Bolzano: se f é contínua em [a,b] e f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0.
  • Aqui definimos \,f(x)=\sin x - x/2. A função \sin x é contínua e a função x/2 é contínua, logo f é contínua em todo \mathbb{R}. Portanto Bolzano pode ser aplicado.
    Escolha do intervalo inicial: testar pontos simples positivos.
  • Calculemos f(1) e f(2): f(1)=\sin 1 - \tfrac{1}{2}\approx 0{,}841470985 - 0{,}5 = 0{,}341470985>0,
f(2)=\sin 2 - 1 \approx 0{,}909297427 - 1 = -0{,}090702573<0.
  • Como f(1)\cdot f(2)<0, pelo Teorema de Bolzano existe pelo menos uma raiz de f em [1,2]. Esse intervalo isola uma raiz positiva não nula da equação.

Passo 3

Descrição do método da bisseção (aula curta e prática):
  • Dado um intervalo [a,b] com f(a)\cdot f(b)<0, o método da bisseção procede assim:
    1. Calcular o ponto médio m=(a+b)/2.
    2. Avaliar f(m).
    3. Substituir o intervalo por [a,m] se f(a)\cdot f(m)<0, ou por [m,b] se f(m)\cdot f(b)<0.
    4. Repetir até atingir o número desejado de iterações ou precisão.
  • A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2; após n iterações o erro absoluto máximo na aproximação pelo ponto médio é \le (b-a)/2^{n+1} (ou a distância do ponto médio ao verdadeiro zero é \le (b-a)/2^{n+1} dependendo da convenção).

Passo 4

Realização de 5 iterações da bisseção sobre [1,2]. Aqui f(x)=\sin x - x/2. Nas avaliações de \sin foram usadas aproximações numéricas com precisão suficiente para decidir sinal (pode-se usar calculadora ou tabelas na prova). A tabela a seguir resume cada iteração: iteração k, intervalo [a_k,b_k], ponto médio m_k, valores f(a_k),f(b_k),f(m_k) e a escolha do subintervalo para a próxima iteração.
Iteração k a_k b_k m_k=(a_k+b_k)/2 f(a_k) f(b_k) f(m_k) Escolha do próximo intervalo
0 1 2 f(1)=0{,}341471 f(2)=-0{,}090703 intervalo inicial [1,2]
1 1 2 m_1=1{,}5 0{,}341471 -0{,}090703 f(1{,}5)=\sin(1{,}5)-0{,}75\approx 0{,}247495 f(m_1)>0\Rightarrow novo intervalo [1{,}5,\,2]
2 1{,}5 2 m_2=1{,}75 0{,}247495 -0{,}090703 f(1{,}75)=\sin(1{,}75)-0{,}875\approx 0{,}108986 f(m_2)>0\Rightarrow novo intervalo [1{,}75,\,2]
3 1{,}75 2 m_3=1{,}875 0{,}108986 -0{,}090703 f(1{,}875)=\sin(1{,}875)-0{,}9375\approx 0{,}016586 f(m_3)>0\Rightarrow novo intervalo [1{,}875,\,2]
4 1{,}875 2 m_4=1{,}9375 0{,}016586 -0{,}090703 f(1{,}9375)=\sin(1{,}9375)-0{,}96875\approx -0{,}035227 f(m_4)<0\Rightarrow novo intervalo [1{,}875,\,1{,}9375]
5 1{,}875 1{,}9375 m_5=1{,}90625 0{,}016586 -0{,}035227 f(1{,}90625)=\sin(1{,}90625)-0{,}953125\approx -0{,}008859 f(m_5)<0\Rightarrow novo intervalo [1{,}875,\,1{,}90625]
Observações sobre os números:
  • As aproximações usadas para \sin foram (com separador decimal por vírgula): \sin 1\approx 0{,}841471, \sin 1{,}5\approx 0{,}997495, \sin 1{,}75\approx 0{,}983986, \sin 1{,}875\approx 0{,}954086, \sin 1{,}9375\approx 0{,}933523, \sin 1{,}90625\approx 0{,}944266. Essas levaram às avaliações de f mostradas na tabela (arredondadas a 6 casas).
  • Após 5 iterações o intervalo que isola a raiz é [1{,}875,\,1{,}90625]. O ponto médio da última iteração é m_5=1{,}90625 com f(m_5)\approx -0{,}008859.
  • Bônus (cálculo do erro): o comprimento inicial do intervalo era 2-1=1. Após 5 iterações o comprimento do intervalo é 1/2^{5}=1/32=0{,}03125. Assim a raiz real está dentro de distância \le 0{,}03125 do ponto médio m_5.

Passo 5

Interpretação final (motivação para a prova): com poucas iterações você já estreita bastante onde fica a raiz; o método da bisseção é robusto (sempre converge linearmente) e exige apenas continuidade e mudança de sinal — por isso é muito usado em provas quando não se pede muita precisão, só garantia de existência e uma aproximação confiável.

Resposta

Intervalo final após 5 iterações: [1{,}875,\;1{,}90625]
Aproximação pelo ponto médio após 5 iterações: m_5=1{,}90625

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