Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
E m R^3:lang<=(x, y, z),(a, b, c)rang<==x a+y b.

Passo 1

O enunciado apresenta a forma bilinear em R^3 dada por lang<=(x,y,z),(a,b,c)rang<= = xa + yb e pergunta se isso define um produto interno; vamos aplicar os axiomas de produto interno.

Passo 2

Os axiomas de produto interno são: (i) simetria: lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=, (ii) bilinearidade em cada argumento, (iii) positividade: lang<= v,vrang<=>=0, (iv) definitude: lang<= v,vrang<==0 se e somente se v=0.

Passo 3

Verificamos simetria e bilinearidade facilmente: como xa + yb = ax + by, tem-se lang<= u,vrang<==lang<= v,urang<=, e a expressão é linear em cada coordenada.

Passo 4

Calculamos lang<= v,vrang<= = x^2 + y^2, que é sempre não negativo, logo a positividade (iii) vale. Porém, lang<=(x,y,z),(x,y,z)rang<==0 implica apenas x=y=0, deixando z livre. Então um vetor (0,0,1)neq0 teria norma zero, violando a definitude (iv).

Resposta

A expressão não define produto interno porque falha na propriedade de definitude: tem lang<= v,vrang<==0 para vetores vneq0.

Exercícios relacionados