Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
.
Passo 1
O enunciado apresenta a forma bilinear em
dada por
e pergunta se isso define um produto interno; vamos aplicar os axiomas de produto interno.
Passo 2
Os axiomas de produto interno são: (i) simetria:
, (ii) bilinearidade em cada argumento, (iii) positividade:
, (iv) definitude:
se e somente se
.
Passo 3
Verificamos simetria e bilinearidade facilmente: como
, tem-se
, e a expressão é linear em cada coordenada.
Passo 4
Calculamos
, que é sempre não negativo, logo a positividade (iii) vale. Porém,
implica apenas
, deixando
livre. Então um vetor
teria norma zero, violando a definitude (iv).
Resposta
A expressão não define produto interno porque falha na propriedade de definitude: tem
para vetores
.