Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
.
Passo 1
A expressão dada é
. O conteúdo da matéria é produto interno em
, e vamos precisar verificar as três propriedades: simetria, linearidade e positividade definida.
Passo 2
Para simetria, percebemos que a definição troca os pares de componentes sem alterar o valor. De fato, usando que a multiplicação em
é comutativa, temos
Passo 3
Para linearidade no primeiro argumento, precisamos ver que
e
valem para quaisquer vetores e escalar
. Como cada termo é produto escalar ponderado por constantes (3, 2, 4), as somas e fatorações seguem normalmente a linearidade do produto em
.
Passo 4
A positividade definida exige que
para todo vetor
. Calculamos
Como 3, 2 e 4 são positivos, essa soma só pode ser zero se
. Logo,
sempre que
.
Resposta
A expressão satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, portanto define um produto interno em
.