Exercício 2 Diga quais das expressões abaixo define um produto interno. Indique a propriedade que não vale caso não seja produto.
E m R^3:lang<=(x, y, z),(a, b, c)rang<==3 x a+2 y b+4 z c.

Passo 1

A expressão dada é lang<=(x,y,z),(a,b,c)rang<= = 3xa + 2yb + 4zc. O conteúdo da matéria é produto interno em R^3, e vamos precisar verificar as três propriedades: simetria, linearidade e positividade definida.

Passo 2

Para simetria, percebemos que a definição troca os pares de componentes sem alterar o valor. De fato, usando que a multiplicação em R é comutativa, temos
lang<=(x,y,z),(a,b,c)rang<= = 3xa + 2yb + 4zc = 3ax + 2by + 4cz = lang<=(a,b,c),(x,y,z)rang<=

Passo 3

Para linearidade no primeiro argumento, precisamos ver que
lang<=(u+v),wrang<= = lang<= u,wrang<= + lang<= v,wrang<=
e
lang<=lambda u,wrang<= = lambda lang<= u,wrang<=
valem para quaisquer vetores e escalar lambda. Como cada termo é produto escalar ponderado por constantes (3, 2, 4), as somas e fatorações seguem normalmente a linearidade do produto em R.

Passo 4

A positividade definida exige que lang<= v,vrang<=>0 para todo vetor vneq0. Calculamos
lang<=(x,y,z),(x,y,z)rang<= = 3x^2 + 2y^2 + 4z^2
Como 3, 2 e 4 são positivos, essa soma só pode ser zero se x=y=z=0. Logo, lang<= v,vrang<=>0 sempre que vneq0.

Resposta

A expressão satisfaz simetria, linearidade e positividade definida, portanto define um produto interno em R^3.

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